Question

如图，已知AB是⊙O的直径，AD⊥DC，AC平分∠DAB．
（1﹚求证：直线CD与⊙O相切于点C；
（2﹚如果AD和AC的长是一元二次方程的两根，求AD、AC、AB的长和∠DAB的度数．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AD与DC垂直得到一对角互余，再由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，由AC为角平分线得到一对角相等，等量代换得到∠CAD=∠ACO，可得出∠ACD+∠ACO=90°，即OC垂直于CD，即可得到CD为圆的切线，得证；
（2）求出已知方程的解，根据斜边大于直角边得到AC大于AD，得到AD与AC的长，利用勾股定理求出CD的长，可得出CD等于斜边的一半，得出∠CAD=30°，∠BAD=60°，可得出∠CAB=30°，在直角三角形ABC中，设BC=x，则有AB=2x，由AC的长，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出AB的长．
解答：（1）证明：连接OC，
∵AD⊥DC，
∴∠ACD+∠CAD=90°，
∵OA=OC，
∴∠BAC=∠ACO，
又AC平分∠DAB，
∴∠CAB=∠CAD，
∴∠CAD=∠ACO，
∴∠ACD+∠ACO=90°，即OC⊥DC，
∴DC是⊙O的切线；

（2）解：方程x²-（2+）x+2=0，即（x-2）（x-）=0，
解得：x₁=，x₂=2，
∵AD＜AC，∴AD=，AC=2，
∴CD==1，
∵CD=AC，
∴∠CAD=30°，
∴∠AAB=60°，
连接BC，
∵AB为直径，∴∠ACB=90°，
设BC=x，则AB=2x，
∴x²+2²=（2x）²，
∵x＞0，
∴x=，
则AB=．
点评：此题考查了切线的判定，勾股定理，以及解一元二次方程-因式分解法，其中切线的判定方法有两种：有点连接证明垂直；无点作垂线证明垂线段等于圆的半径．