Question

在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10．点E在下底边BC上，点F在腰AB上．AH为等腰梯形的高．
（1）求AH的长？
（2）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为x，试用含x的代数式表示△BEF的面积；
（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由；
（4）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1：2的两部分？若存在，求出此时BE的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意即可推出BH=（BC-AD）÷2，然后根据勾股定理，即可推出高AH的长度；
（2）根据题意画出BE的高FM，然后，推出梯形周长的一半（即12），即可知BF=12-x，通过求证△FBM∽△ABH，即可推出高FM关于x的表达式，最后根据三角形的面积公式，即可表示出△BEF的面积；
（3）通过计算等腰梯形的面积，即可推出其一半的值，然后结合结论（2）即可推出结论；
（4）首先提出假设成立，然后，分情况进行讨论，①若当BE+BF=8，△BEF的面积=

1

3

S_{等腰梯形ABCD}=

28

3

，根据题意列出方程，求出x；②若当BE+BF=16，△BEF的面积=

2

3

S_{等腰梯形ABCD}=

56

3

时，根据题意列出方程，求出x，最后即可确定假设不成立，即可推出结论．

解答：解：（1）∵等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10，
∴BH=（BC-AD）÷2=3，
∴AH=

AB2-BH2

=4；

（2）作FM⊥BC于M．
∵等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10，
∴等腰梯形ABCD的周长=24，
∵EF平分等腰梯形ABCD的周长，
∴BF+BE=12，
∵BE=x，
∴BF=12-x，
∵FM∥AH，
∴△FBM∽△ABH，
∴BF：AB=FM：AH，
∴

12-x

5

=

FM

4

，
∴FM=

48-4x

5

，
∴△BEF的面积=

48-4x

5

•x•

1

2

=-

2

5

x2+

24

5

x；

（3）假设线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分．
∵等腰梯形ABCD中，AH=4，AD=4，BC=10，
∴等腰梯形ABCD面积的一半=4（4+10）÷2÷2=14，
∵当线段EF将等腰梯形ABCD的周长平分时，△BEF的面积关于x的函数表达式为-

2

5

x2+

24

5

x，
∴14=-

2

5

x2+

24

5

x，
∴整理方程得：-x²+12x-35=0，
∵△=b²-4ac=144-140=4＞0，
解方程得：x₁=5，x₂=7，
∵当x₁=5，BF=7＞AB，
∴x₁=5，不符合题意，舍去，
∴当x=7时，线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分；

（4）假设存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1：2的两部分．
∵等腰梯形ABCD的周长=24，等腰梯形ABCD的面积=28，
则①若当BE+BF=8，△BEF的面积=

1

3

S_{等腰梯形ABCD}=

28

3

，
∵BE=x，
∴BF=8-x，
∵FM∥AH，
∴△FBM∽△ABH，
∴BF：AB=FM：AH，
∴

8-x

5

=

FM

4

，
∴FM=

32-4x

5

，
∴△BEF的面积=-

2

5

x2+

16

5

x，
当

1

3

_{梯形ABCD的面积}=

28

3

时，
∴

28

3

=-

2

5

x2+

16

5

x，
整理方程得：-3x²+24x-70=0，
∵△=-264＜0，故方程无实数解，
∴此种情况不存在，
②若当BE+BF=16，△BEF的面积=

2

3

S_{等腰梯形ABCD}=

56

3

时，
∴FM=

64-4x

5

，
∴△BEF的面积=-

2

5

x2+

32

5

x，
∴

56

3

=-

2

5

x2+

32

5

x，
整理方程得：-3x²+48x-140=0，
△=b²-4ac=624，
解方程得：x₁=

24-2 39

3

，x₂=

24+2 39

3

（舍去），
∴x=

24-2 39

3

．
∴当x=

24-2 39

3

时，线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1：2的两部分．

点评：本题主要考查等腰梯形的性质、勾股定理、一元二次方程的应用、解直角三角形，关键在于正确的推出FM的长度，和推出用x表示△BEF的面积．