Question

已知：如图，△ABC中，DE∥BC，BE与CD交于点O，AO与DE，BC分别交于点N，M．
（1）已知点M是BC的中点．求证：DN=EN；
（2）已知ON：OM=2：5，四边形BCED的面积为42，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）由“平行线法”推知△ADN∽△ABM，则该相似三角形的对应边成比例：

DN

BM

=

AN

AM

．同理

EN

CM

=

AN

AM

，则

DN

BM

=

EN

CM

，根据“点M是BC的中点”易证DN=EN；
（2）通过证△EON∽△BOM，得到

EN

BM

=

OE

OB

=

ON

OM

=

2

5

．通过证△DOE∽△COB，得到

OE

OB

=

DE

BC

=

2

5

，故

S△ADE

S△ABC

=

4

25

，所以易求S_△ABC=50．

解答：（1）证明：如图，∵DE∥BC，
∴△ADN∽△ABM
∴

DN

BM

=

AN

AM

，
同理

EN

CM

=

AN

AM

，
∴

DN

BM

=

EN

CM

．
又∵点M是BC的中点，
∴BM=CM，
∴DN=EN；

（2）∵DE∥BC，
∴△EON∽△BOM，则

EN

BM

=

OE

OB

=

ON

OM

=

2

5

．
∵△DOE∽△COB，则

OE

OB

=

DE

BC

=

2

5

，
∴

S△ADE

S△ABC

=

4

25

，
∴设S_△ADE=4x，则S_△ABC=25x．
∵四边形BCED的面积为42，
∴25x-4x=42，
解得，x=2，
∴S_△ABC=50．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形．