Question

已知直线AB与x轴、y轴分别交于点A（-1，0）、点B（0，），O为坐标原点，∠ABO=30°．以线段AB为边在第三象限内作等边△ABC．
（1）求直线AB的解析式；　　　
（2）求出点C的坐标；
（3）若在第三象限内有一点P（m，），且△ABP的面积和△ABC的面积相等，求m的值．

Answer 1

解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，
∵直线AB与x轴、y轴分别交于点A（-1，0）、点B（0，），
∴，
解得：，
∴直线AB的解析式为y=-x-；

（2）∵A（-1，0）、B（0，），
∴AB===2，
∴∠ABO=30°，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=CB=2，∠OBC=∠ABC+∠ABO=60°+30°=90°，
∴点C的坐标是（-2，-）；

（3）过点C作CE∥AB，交y轴于点E，则∠BEC=∠ABO=30°，
∵BC=2，
∴BE===2，
∴OE=3，
∴点E的坐标是（0，-3），
设直线CE的解析式为y=ax+n（a≠0），
则a=-，n=-3，
∴直线CE的解析式为y=-x-3，
若△ABP的面积和△ABC的面积相等，
则点P在直线CE上，
则=-m-3，
m=-3．
分析：（1）先设直线AB的解析式为y=kx+b，再把点A（-1，0）和点B（0，）代入，求出k、b的值，即可得出直线AB的解析式；
（2）根据A、B点的坐标，求出AB的值，再根据∠ABO=30°，△ABC为等边三角形，得出AB=CB=2，∠OBC=∠ABC+∠ABO=60°+30°=90°，即可求出点C的坐标；
（3）先过点C作CE∥AB，交y轴于点E，得出∠BEC=∠ABO=30°，根据特殊角的三角函数值求出OE的值，得出点E的坐标，再设直线CE的解析式为y=ax+n（a≠0），求出a，n的值，得出直线CE的解析式，若△ABP的面积和△ABC的面积相等，则点P在直线CE上，求出m的值．
点评：此题考查了一次函数综合题，用到的知识点是：坐标与图形性质，含30度直角三角形的性质，等边三角形的性质，待定系数法确定一次函数解析式，平行线的性质，以及勾股定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．