如图.抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A.B两点.与y轴交于点C.其中点B在x轴的正半轴上.点C在y轴的正半轴上.线段OA.OC的长是方程x2-4x+3=0的两个根.且抛物线的对称轴是直线x=1．.点C的坐标是,(2)此抛物线的表达式为y=-x2+2x+3.顶点M的坐标是(1.4),与抛物线y=ax2+bx+c相交于两点D.E.且P是线段DE的中点．当k为何值时?四� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

3．

如图，抛物线y=ax²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OA、OC的长（OA＜OC）是方程x²-4x+3=0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=1．
（1）点A的坐标是（-1，0），点C的坐标是（0，3），点B的坐标是（3，0）；
（2）此抛物线的表达式为y=-x²+2x+3，顶点M的坐标是（1，4）；
（3）若直线y=kx（0＜k＜2）与抛物线y=ax²+bx+c相交于两点D、E，且P是线段DE的中点．当k为何值时？四边形PCMB的面积最小，最小值是多少？
（4）在（3）的条件下，若Q是抛物线上AM间的一个动点，则当点Q的坐标是多少时，五边形AOEMQ的面积最大？

分析（1）由线段OA、OC的长（OA＜OC）是方程x²-4x+3=0的两个根，可求得OA，OC的长，即可求得点A与点C坐标，又由抛物线的对称轴是直线x=1，根据对称性，可求得点B的坐标；
（2）首先设抛物线的表达式为y=a（x+1）（x-3），然后将C（0，3）代入，即可求得答案；
（3）首先设D的坐标为（x₁，y₁），E的坐标为（x₂，y₂），由直线y=kx（0＜k＜2）与抛物线y=ax²+bx+c相交于两点D、E，可得x²+（k-2）x-3=0，则可求得P的横坐标为：$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{k-2}{2}$=$\frac{2-k}{2}$，继而表示出点P的坐标，然后由S_{四边形PCMB}=S_梯形OCMF+S_△BMF-S_△OBP-S_△OCP，求得答案；
（4）由S_{五边形AOEMQ}=S_{四边形AOEM}+S_△AMQ，且S_{四边形AOEM}是定值，可得当△AMQ的面积最大时，五边形AOEMQ的面积最大；然后求当点Q的坐标是多少时，△AMQ的面积最大即可．

解答解：（1）∵x²-4x+3=0，
∴（x-1）（x-3）=0，
解得：x₁=1，x₂=3，
∴OA=1，OC=3，
∴点A的坐标是（-1，0），点C的坐标是（0，3），
∵抛物线的对称轴是直线x=1，
∴点B坐标是（3，0）；
故答案为：（-1，0），（0，3），（3，0）；

（2）设抛物线的表达式为y=a（x+1）（x-3），
将（0，3）代入得：-3a=3，
解得：a=-1，
∴y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3=-（x-1）²+4；
∴顶点M的坐标是（1，4）；
故答案为：y=-x²+2x+3，（1，4）；

（3）∵直线y=kx（0＜k＜2）与抛物线y=ax²+bx+c相交于两点D、E，
设D的坐标为（x₁，y₁），E的坐标为（x₂，y₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=-{x}^{2}+2x+3}\end{array}\right.$，
∴x²+（k-2）x-3=0，
∵P是线段DE的中点，
∴P的横坐标为：$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{k-2}{2}$=$\frac{2-k}{2}$，
∴点P的坐标为：（$\frac{2-k}{2}$，$\frac{k（2-k）}{2}$），
如图1，过点M作MF⊥x轴于点F，
∴S_{四边形PCMB}=S_梯形OCMF+S_△BMF-S_△OBP-S_△OCP=$\frac{1}{2}$×1×（3+4）+$\frac{1}{2}$×2×4-$\frac{1}{2}$×3×$\frac{2-k}{2}$-$\frac{1}{2}$×3×$\frac{k（2-k）}{2}$=$\frac{3}{4}$（k-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{93}{16}$；
∴当k=$\frac{1}{2}$时，四边形PCMB的面积最小，最小值是$\frac{93}{16}$；

（4）如图2，设点Q的坐标为：（x，-x²+2x+3），
连接AM，过点Q作QG⊥x轴，交直线AM于点G，
∵S_{五边形AOEMQ}=S_{四边形AOEM}+S_△AMQ，且S_{四边形AOEM}是定值，
∴当△AMQ的面积最大时，五边形AOEMQ的面积最大；
设直线AM的解析式为：y=mx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-m+n=0}\\{m+n=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=2}\end{array}\right.$，
∴直线AM的解析式为：y=2x+2，
∴点G的坐标为：（x，2x+2），
∴S_△AMQ=$\frac{1}{2}$×2×QG=QG=（-x²+2x+3）-（2x+2）=-x²+1，
∴当x=0时，△AMQ的面积最大，即五边形AOEMQ的面积最大，
此时点Q的坐标为（0，3）．

点评此题属于二次函数的综合题，考查了待定系数求二次函数解析式，一元二次方程的解法，二次函数的对称性，二次函数与一次函数的交点问题以及最值问题．注意掌握面积的割补求解方法是解此题的关键．

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