Question

20．如图，边长为1的正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，有直角∠MPN，使直角顶点P与点O重合，直角边PM，PN分别与OA，OB重合，然后逆时针旋转∠MPN，旋转角为α（0°＜α＜90°），PM，PN分别交AB，BC于E，F两点，连接EF交OB于点G，下列结论中错误的是（　　）

• A． OF=OE
• B． BE+BF=$\sqrt{2}$OA
• C． 在旋转的过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE=$\frac{3}{4}$
• D． AE•BE=BO•BG．

Answer 1

分析 A、易证得△BOE≌△COF（ASA），则可证得结论A正确；
B、由BE=CF，可得BE+BF=BC，然后由等腰直角三角形的性质，证得BE+BF=$\sqrt{2}$OA，选项B正确；
C、设AE=x，则BE=CF=1-x，BF=x，继而表示出△BEF与△COF的面积之和，然后利用二次函数的最值问题，求得选项C错误；
D、证明△BOE∽△BFG，得出对应边成比例，即可得出选项D正确．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，ABC=90°，∠BAO=∠ABO=∠OBC=45°，AC⊥BD，
∵∠EOF=90°，
∴∠BOE+∠BOF=90°，
∵∠BOF+∠COF=90°，
∴∠BOE=∠COF，
在△BOE和△COF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BOE=∠COF}&{\;}\\{OB=OC}&{\;}\\{∠OBE=∠OCF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△COF（ASA），
∴OE=OF，BE=CF，
∴BE+BF=CF+BF=BC=$\sqrt{2}$OA，选项A、B正确；
过点O作OH⊥BC，如图所示：
∵BC=1，
∴OH=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{1}{2}$，
设AE=x，则BE=CF=1-x，BF=x，
∴S_△BEF+S_△COF=$\frac{1}{2}$BE•BF+$\frac{1}{2}$CF•OH=$\frac{1}{2}$x（1-x）+$\frac{1}{2}$（1-x）×$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$（x-$\frac{1}{4}$）²+$\frac{9}{32}$，
∵a=-$\frac{1}{2}$＜0，
∴当x=$\frac{1}{4}$时，S_△BEF+S_△COF最大；
即在旋转过程中，当△BEF与△COF的面积之和最大时，AE=$\frac{1}{4}$；故选项C错误；
∵AB=BC，BE=CF，
∴AE=BF，
∵∠OEG=∠OBC，∠OGE=∠FGB，
∴∠BOE=∠BFG，
又∵∠OBE=∠FBG=45°，
∴△BOE∽△BFG，
∴$\frac{BE}{BG}=\frac{BO}{BF}$，
∴BF•BE=BO•BG，
∵AE=BF，
∴AE•BE=BO•BG，选项D正确；
故选：C．

点评 此题属于四边形的综合题．考查了正方形的性质，旋转的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理以及二次函数的最值问题．注意掌握转化思想的应用是解此题的关键．