Question

如图，二次函数y=-x²+2（m-2）x+3的图象与x，y轴交于A，B，C三点，其中A（3，0），抛物线的顶点为D．
（1）求m的值及顶点D的坐标．
（2）连接AD，CD，CA，求△ACD外接圆圆心E的坐标和半径；
（3）当-

1

2

≤x≤n时，函数y所取得的最大值为4，最小值为1

3

4

，求n的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）把A点坐标代入可求得m的值，可求得二次函数解析式，化为顶点式可求得D的坐标；
（2）利用两点间的距离公式可求得AC、CD、AD，可知△ACD为直角三角形，AC为斜边，可知E为AC的中点，可求得E的坐标及半径；
（3）当x=-

1

2

时，可求得y=1

3

4

，且当x=1时y=4，根据二次函数的对称性可求得n的范围．

解答：解：（1）∵抛物线过A点，
∴代入二次函数解析式可得-9+6（m-2）+3=0，解得m=3，
∴二次函数为y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点D为（1，4）；
（2）由（1）可求得C坐标为（0，3），
∴AC=

32+32

=3

2

，CD=

12+(4-3)2

=

2

，AD=

(1-3)2+42

=2

5

，
∴AC²+CD²=AD²，
∴△ACD为直角三角形，
∴E为AC的中点，
∴E点坐标为（

3

2

，

3

2

），
外接圆的半径r=

1

2

AC=

3

2

2

；
（3）当x=-

1

2

时，y=1

3

4

，当x=1时，y=4，
∴当-

1

2

≤x≤1时，1

3

4

≤y≤4，
根据二次函数的对称性可知当1≤x≤

5

2

时，1

3

4

≤y≤4，
∴1≤n≤

5

2

．

点评：本题主要考查待定系数法求函数解析式及二次函数的顶点坐标、增减性、及直角三角形的判定等知识的综合应用．在（1）中掌握点的坐标满足函数的解析式是解题的关键，在（2）中判定出△ACD为直角三角形是解题的关键，在（3）中利用二次函数的对称性，结合二次函数在对称轴两侧的增减性可确定出n的范围．本题难度不大，注重基础知识的综合，较易得分．