Question

18．如图，锐角△ABC中，边BC长为3，高AH长为2，矩形EFMN的边MN在BC边上，其余两个顶点E，F分别在AB，AC边上，EF交AH于点G．
（1）求$\frac{EF}{AG}$的值；
（2）当EN为何值时，矩形EFMN的面积为△ABC面积的四分之一．

Answer 1

分析 （1）由EF∥BC，得到△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质得到$\frac{AG}{AH}=\frac{EF}{BC}$，根据比例的性质即可得到结论；
（2）设EN=x，根据相似三角形的性质得到$\frac{AG}{AH}=\frac{EF}{BC}$，代入数据得到$\frac{2-x}{2}=\frac{EF}{3}$，求得EF=3-$\frac{3}{2}$x，根据题意列方程即可得到结论．

解答 解：（1）∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{AG}{AH}=\frac{EF}{BC}$，
∴$\frac{EF}{AG}=\frac{BC}{AH}$=$\frac{3}{2}$；

（2）设EN=x，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴$\frac{AG}{AH}=\frac{EF}{BC}$，
∴$\frac{2-x}{2}=\frac{EF}{3}$，
∴EF=3-$\frac{3}{2}$x，
∵矩形EFMN的面积为△ABC面积的四分之一，
∴x（3-$\frac{3}{2}$x）=$\frac{1}{4}$×$\frac{1}{2}$×3×2，
∴x=1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，x=1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴EN为1-$\frac{\sqrt{2}}{2}$或1+$\frac{\sqrt{2}}{2}$时，矩形EFMN的面积为△ABC面积的四分之一．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．