Question

如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A（-1，0），与反比例函数y=

m

x

在第一象限内的图象交于点B（

1

2

，n）．连结OB，若S_△AOB=1．
（1）求反比例函数与一次函数的关系式；
（2）直接写出不等式组

x＞0 m x ＞kx+b

的解集；
（3）已知P是y轴上一点，若以点A、B、P为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点P的坐标．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）根据三角形AOB面积，以及A横坐标的绝对值，利用三角形面积公式求出三角形的高，即为B的纵坐标，确定出n的值，将B坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出反比例解析式，将A与B坐标代入一次函数解析式求出k与b的值，即可确定出一次函数解析式；
（2）根据函数图象，由B横坐标求出不等式组的解集即可；
（3）分四种情况考虑，求出使以点A、B、P为顶点的三角形是直角三角形时P的坐标即可．

解答：解：（1）∵A（-1，0），B（

1

2

，n），且S_△AOB=1，
∴

1

2

×1×n=1，即n=2，
∴B（

1

2

，2），
将B坐标代入反比例解析式得：m=1，即反比例解析式为y=

1

x

；
将A（-1，0），B（

1

2

，2）代入一次函数解析式得：

-k+b=0 1 2 k+b=2

，
解得：

k= 4 3 b= 4 3

，
则一次函数解析式为y=

4

3

x+

4

3

；
（2）由B横坐标为

1

2

，根据函数图象得：不等式组的解集为0＜x＜

1

2

；
（3）∵直线AB的斜率为

4

3

，直线BP₁⊥y轴，直线AP₄⊥y轴，
∴直线BP₁与直线AP₄的斜率为-

3

4

，
∴直线BP₁的方程为y-2=-

3

4

（x-

1

2

），直线AP₄的方程为y=-

3

4

（x+1），
令x=0，得到P₁（0，2

3

8

）；P₄（0，-

3

4

）；
设P坐标为（0，p），
∵AP₂⊥BP₂，
∴k_AP2•k_BP2=-1，即

-p

-1-0

•

2-p

1 2 -0

=-1，
整理得：2p（2-p）=-1，即2p²-4p-1=0，
解得：p=

4± 24

4

=±

6

2

，
∴P₂（0，1+

6

2

）；P₃（0，1-

6

2

）；
综上，P的坐标为（0，2

3

8

）；（0，1+

6

2

）；（0，1-

6

2

）；（0，-

3

4

）．

点评：此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，两直线垂直时斜率满足的关系，直线的点斜式方程，利用了数形结合及分类讨论的思想，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．