Question

（1）如图，BE是∠ABD的平分线．CF是∠ACD的平分线，BE与CF交于G，若∠BDC=140°，∠BGC=110°，求∠A的大小．
（2）在△ABC中，∠A=50°，高BE、CF交于O，且O不与B、C重合，求∠BOC的度数．

Answer 1

分析：（1）连接AD、AG并延长．根据三角形的内角和定理的推论进行计算；
（2）由O不与B、C重合知，∠B、∠C均非直角，这样，△ABC既可能是锐角三角形，又可能是钝角三角形，应分两种情况讨论．

解答：解：（1）连接AD、AG并延长．
∵∠BGM=∠ABG+∠BAG，∠CGM=∠CAG+∠ACG，
∴∠BGC=∠BAC+∠ABE+∠ACF．
∵∠BDN=∠ABD+∠DAB，∠CDN=∠ACD+∠DAC，
∴∠ABD+∠ACD=∠BDC-∠BAC．
∵BE是∠ABD的平分线．CF是∠ACD的平分线，
∴∠ABE+∠ACF=

1

2

（∠ABD+∠ACD），
∴∠BAC=∠BGC-

1

2

（∠ABD+∠ACD）=∠BGC-

1

2

（∠BDC-∠BAC），即∠BAC=2∠BGC-∠BDC=80°．

（2）当点O在三角形的内部时，则∠BOC=∠EOF=360°-∠A-∠AFO-∠AEO=130°；
当点O在三角形的外部时，则∠BOC=90°-（90°-50°）=50°．
故∠BOC=130°或50°．

点评：此题主要是三角形内角和定理的运用．注意：三角形的高的交点可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部．