Question

（2004•连云港）如图，直线y=kx+4与函数y=（x＞0，m＞0）的图象交于A、B两点，且与x、y轴分别交于C、D两点．
（1）若△COD的面积是△AOB的面积的倍，求k与m之间的函数关系式；
（2）在（1）的条件下，是否存在k和m，使得以AB为直径的圆经过点P（2，0）？若存在，求出k和m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据直线的解析式求得点C，D的坐标，从而表示出△COD的面积；根据两个函数的解析式联立解方程组求得点A，B的坐标，从而根据△AOD的面积减去△BOD的面积表示出△AOB的面积，再根据两个三角形之间的面积关系表示出k与m之间的函数关系式；
（2）假设存在，根据直径所对的圆周角是直角，得到AP⊥BP，从而得到Rt△MAP∽Rt△NPB．再根据相似三角形的对应边的比相等，得到关于k，m的关系式，结合（1）中的结论进行求解．
解答：解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（其中x₁＜x₂，y₁＞y₂），
∵S_△COD=S_△AOB，
∴S_△COD=（S_△AOD-S_△BOD）
∴•OC•OD=（•OD•y₁-•OD•y₂），OC=（y₁-y₂），（2分）
又OC=4，
∴（y₁-y₂）²=8，即（y₁+y₂）²-4y₁y₂=8，（3分）
由可得，代入y=kx+4可得：y²-4y-km=0①
∴y₁+y₂=4，y₁•y₂=-km，
∴16+4km=8，即
又方程①的判别式△=16+4km=8＞0，
∴所求的函数关系式为（m＞0）；（5分）

（2）假设存在k，m，使得以AB为直径的圆经过点P（2，0）
则AP⊥BP，过A、B分别作x轴的垂线，垂足分别为M、N
∵∠MAP与∠BPN都与∠APM互余，
∴∠MAP=∠BPN（6分）
∴Rt△MAP∽Rt△NPB，
∴
∴，
∴（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂=0，
∴，
即m²-2m（y₁+y₂）+4y₁y₂+（y₁y₂）²=0②（8分）
由（1）知：y₁+y₂=4，y₁•y₂=2，代入②得：m²-8m+12=0，
∴m=2或6，又，
∴或，
∴存在k，m，使得以AB为直径的圆经过点P（2，0），且或．（10分）
点评：能够根据直线的解析式求得与坐标轴的交点的坐标；能够把不规则三角形的面积进行转换．