Question

华宇公司获得授权生产某种奥运纪念品，经市场调查分析，该纪念品的销售量y₁（万件）与纪念品的价格x（元/件）之间的函数图象如图所示，该公司纪念品的生产数量y₂（万件）与纪念品的价格x（元/件）近似满足函数关系式y₂=-

3

2

x+85．若每件纪念品的价格不小于20元，且不大于40元．请解答下列问题：
（1）求y₁与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）当价格x为何值时，使得纪念品产销平衡（生产量与销售量相等）；
（3）当生产量低于销售量时，政府常通过向公司补贴纪念品的价格差来提高生产量，促成新的产销平衡．若要使新的产销平衡时销售量达到46万件，政府应对该纪念品每件补贴多少元？

Answer 1

分析：（1）设y与x的函数解析式为y=kx+b，将已知坐标代入求出k，b即可；
（2）本题考查的是分段函数的应用．要注意当x的取值范围不同，所得的解也不同；
（3）分别假设y₁、y₂值为46，求出x的差值．

解答：解：
（1）设y与x的函数解析式为：y=kx+b，将点A（20，60）、B（36，28）代入y=kx+b得：

60=20k+b 28=36k+b

解得：

k=-2 b=100

∴y₁与x的函数关系式为：

y1=-2x+100  (20≤x≤36) y1=28    (36＜x≤40)

（3分）

（2）当20≤x≤36时，有

y=- 3 2 x+85 y=-2x+100

解得：

x=30 y=40

（5分）
当36≤x≤40时，有

y=- 3 2 x+85 y=28

解得：

x=38 y=28

∴当价格为30元或38元，可使公司产销平衡；（7分）

（3）当y₁=46时，则46=-

3

2

x₁+85，∴x₁=26
当y₂=46时，则46=-2x₂+100，∴x₂=27
∴x₂-x₁=1
∴政府对每件纪念品应补贴1元．（10分）

点评：本题是一道函数应用题，考查的知识有函数、不等式、方程等．要求考生在仔细阅读题设文字，认真弄清函数图象的基础上，通过建立方程组模型才能解决所求问题．此题取材于当前现实生活实际，体现了数学的应用价值，大大地激发了学生学好数学的信心和决心．