Question

如图，将抛物线y=-

1

2

（x-1）²+

9

2

与x轴交于A、B，点C（2，m）在抛物线上，点P在y轴的正半轴上，且△BCP为等腰三角形，求点P的坐标．

Answer 1

分析：将C坐标代入抛物线解析式求出m的值，确定出点C坐标；然后分类讨论：BC为底和BC为腰两种情况下的点P的坐标．

解答：解：令y=0，则-

1

2

（x-1）²+

9

2

=0，
解得，x=4或x=-2．
如图所示，A（-2，0），B（4，0）．
把C（2，m）代入抛物线解析式，得到：m=-

1

2

（2-1）²+

9

2

=4，则C（2，4）．
∴BC=

(4-2)2+42

=2

5

∵P在y轴的正半轴上，∴设P（0，y）（y＞0）．
①当BC=PC时，

(-2)2+(y-4)2

=2

5

，
解得，y=8或y=0（都不合题意，舍去），
②当BC=PB时，

(0-4)2+y2

=2

5

，
解得，y=2或y=-2（不合题意，舍去）．
则P（0，2）；
③当PC=PB时，

(-2)2+(y-4)2

=

(0-4)2+y2

，解得，y=

1

2

．则P（0，

1

2

）．
综上所述，符合题意的点P的坐标是：（0，2），（0，

1

2

）．

点评：本题考查了抛物线与x轴的交点．解题时，要根据等腰三角形的性质，进行分类讨论，以防漏解．