Question

如图①，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，设旋转的角度是β．
（1）如图②，当β=

 

°（用含α的代数式表示）时，点B′恰好落在CA的延长线上；
（2）如图③，连接BB′、CC′，CC′的延长线交斜边AB于点E，交BB′于点F．请写出图中两对相似三角形

 

，

 

（不含全等三角形），并选一对证明．

Answer 1

分析：（1）先求出∠BAC的度数，然后180°-∠BAC可得出答案；
（2）具有两个角相等的三角形是相似三角形，由此结合图形及旋转的性质可得出答案．

解答：解：（1）∵∠ABC=α，
∴∠BAC=90°-α，
∴β=∠90°+α；

（2）图中两对相似三角形：①△ABB′∽△ACC′，②△ACE∽△FBE，
证明①：∵△ABC绕点A顺时针旋转角β得到△AB′C′，
∴∠CAC′=∠BAB′=β，AC=AC′，AB=AB′
∴

AC

AB

=

AC′

AB′

∴△ABB′∽△ACC′；
证明②：∵△ABC绕点A顺时针旋转角β得到△AB′C′，
∴∠CAC′=∠BAB′=β，AC=AC′，AB=AB′，
∴∠ACC′=∠ABB′=

180°-β

2

，
又∠AEC=∠FEB，
∴△ACE∽△FBE．

点评：本题考查了旋转及相似三角形的判定，有一定难度，注意熟练运用旋转的性质是关键．