Question

15．已知关于x的方程x²-（2k-3）x+k²+1=0有两个不相等的实数根x₁、x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）若2x₁•x₂+x₁+x₂=3，求k的值．

Answer 1

分析 （1）根据根的判别式列出关于k的不等式求解可得；
（2）根据韦达定理得出x₁+x₂=2k-3，x₁•x₂=k²+1，代入2x₁•x₂+x₁+x₂=3得：2k²+2+2k-3=3，解之即可．

解答 解：（1）根据题意得：△=[-（2k-3）]²-4（k²+1）＞0，
解得：k＜$\frac{5}{12}$；

（2）∵x₁+x₂=2k-3，x₁•x₂=k²+1，
∴由2x₁•x₂+x₁+x₂=3得：2k²+2+2k-3=3，
解得：k=1或k=-2，
∵k＜$\frac{5}{12}$，
∴k=-2．

点评 本题主要考查根的判别式和韦达定理，熟练掌握根的判别式和韦达定理得出关于k的不等式或方程是解题的关键．