Question

8．如图，已知△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，BD平分∠ABC，将△ABC绕着点A旋转后，点B、C的对应点分别记为B₁、C₁，如果点B₁落在射线BD上，那么CC₁的长度为$\frac{16\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 根据勾股定理得到AB=5，根据旋转的性质得到AC₁=AC=4，AB₁=AB=5，∠CAC₁=∠BAB₁，推出AB′∥BC，根据平行线的性质得到∠B₁AC=∠ACB=90°，根据相似三角形的性质得到AD=$\frac{5}{2}$，CD=$\frac{3}{2}$，根据勾股定理求得BB₁=4$\sqrt{5}$，根据相似三角形的性质即可得到结论．

解答 解：∵∠C=90°，BC=3，AC=4，
∴AB=5，
∵将△ABC绕着点A旋转后得△AB₁C₁，
∴AC₁=AC=4，AB₁=AB=5，∠CAC₁=∠BAB₁，
∴∠AB₁B=∠ABB₁，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABB₁=∠CBB₁，
∴∠AB₁B=∠CBB₁，
∴AB₁∥BC，
∴∠B₁AC=∠ACB=90°，
∴△AB₁D∽△CBD，
∴$\frac{AD}{CD}$=$\frac{A{B}_{1}}{BC}$=$\frac{5}{3}$，
∴AD=$\frac{5}{2}$，CD=$\frac{3}{2}$，
∴B₁D=$\sqrt{A{{B}_{1}}^{2}+A{D}^{2}}$=$\frac{5\sqrt{5}}{2}$，BD=$\sqrt{B{C}^{2}+C{D}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，
∴BB₁=4$\sqrt{5}$，
∵∠C₁AC=∠B₁AB，AC=AC₁，AB=AB₁，
∴△ACC₁∽△ABB₁，
∴$\frac{AC}{AB}$=$\frac{C{C}_{1}}{B{B}_{1}}$，
∴CC₁=$\frac{16\sqrt{5}}{5}$，
故答案为：$\frac{{16\sqrt{5}}}{5}$．

点评 本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．