Question

如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在x轴下方的抛物线上，且△PAB的面积等于△ABC的面积，求点P的坐标；
（3）点Q是直线BC上的一个动点，若△QOB为等腰三角形，请写出此时点Q的坐标．

Answer 1

分析：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，把点A、B、C的坐标代入解析式得到关于a、b、c的三元一次方程组，求解即可得到抛物线解析式；
（2）根据等底等高的三角形的面积相等可得点P到AB的距离等于3，再根据点P在x轴下方可知点P的纵坐标为-3，然后代入抛物线解析式求解即可得到点P的横坐标，从而得解；
（3）根据点B、C的坐标求出OB、OC的长度，再根据勾股定理列式求出BC的长度，然后分①Q₁O=Q₁B时，过Q₁作Q₁D₁⊥x轴于D₁，根据等腰三角形三线合一可得点D₁是OB的中点，从而得到点Q₁是BC的中点；②点Q在x轴上方，Q₂B=OB时，过Q₂作Q₂D₂⊥x轴于D₂，利用∠OBC的正弦值求出Q₂D₂的长度，利用余弦值求出BD₂的长度，再求出OD₂，即可得到点Q₂的坐标；③点Q在x轴下方，Q₃B=OB时，过Q₃作Q₃D₃⊥x轴于D₃，根据对顶角相等，利用∠OBC的正弦值求出Q₃D₃的长度，利用余弦值求出BD₃的长度，再求出OD₃，即可得到点Q₃的坐标；④Q₄O=OB时，根据等腰三角形三线合一的性质求出BQ₄的长度，再过Q₄作Q₄D₄⊥x轴于D₄，利用∠OBC的正弦值求出Q₄D₄的长度，利用余弦值求出BD₄的长度，再求出OD₄，即可得到点Q₄的坐标．

解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
∵抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C（0，3），
∴

a-b+c=0 16a+4b+c=0 c=3

，
解得

a=- 3 4 b= 9 4 c=3

，
故抛物线的解析式为y=-

3

4

x²+

9

4

x+3；

（2）存在一点P，使△PAB的面积等于△ABC的面积．
∵△ABC的底边AB上的高为3，
∴设△PAB的高为h，则|h|=3，
∵点P在x轴下方，
∴点P的纵坐标为-3，
∴-

3

4

x²+

9

4

x+3=-3，
整理得，x²-3x-8=0，
解得x₁=

3+ 41

2

，x₂=

3- 41

2

，
∴点P的坐标为（

3+ 41

2

，-3），（

3- 41

2

，-3）；

（3）∵点B（4，0），点C（0，3），
∴OB=4，OC=3，
根据勾股定理，BC=

OB2+OC2

=

42+32

=5，
①Q₁O=Q₁B时，过Q₁作Q₁D₁⊥x轴于D₁，则点D₁是OB的中点，
∴点Q₁是BC的中点，
∴Q₁（2，

3

2

）；
②点Q在x轴上方，Q₂B=OB时，过Q₂作Q₂D₂⊥x轴于D₂，
则Q₂D₂=BQ₂sin∠OBC=4×

3

5

=

12

5

，
BD₂=BQ₂cos∠OBC=4×

4

5

=

16

5

，
所以，OD₂=OB-BD₂=4-

16

5

=

4

5

，
所以，Q₂（

4

5

，

12

5

）；
③点Q在x轴下方，Q₃B=OB时，过Q₃作Q₃D₃⊥x轴于D₃，
则Q₃D₃=BQ₃sin∠OBC=4×

3

5

=

12

5

，
BD₃=BQ₃cos∠OBC=4×

4

5

=

16

5

，
所以OD₃=OB+BD₃=4+

16

5

=

36

5

，
所以点Q₃（

36

5

，-

12

5

）；
④Q₄O=OB时，根据等腰三角形三线合一的性质，BQ₄=2•OBcos∠OBC=2×4×

4

5

=

32

5

，
过Q₄作Q₄D₄⊥x轴于D₄，
则Q₄D₄=BQ₄sin∠OBC=

32

5

×

3

5

=

96

25

，
BD₄=BQ₄cos∠OBC=

32

5

×

4

5

=

128

25

，
所以，OD₄=OD₄-OB=

128

25

-4=

28

25

，
所以点Q₄（-

28

25

，

96

25

）；
综上所述，点Q的坐标为Q₁（2，

3

2

），Q₂（

4

5

，

12

5

），Q₃（

36

5

，-

12

5

），Q₄（-

28

25

，

96

25

）．

点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，等底等高的三角形的面积相等，等腰三角形的性质以及解直角三角形，（3）要根据等腰三角形的三边中不同的边为腰长进行讨论求解，情况比较复杂，作出图形更形象直观，且不容易漏解．