Question

（2011•东台市二模）王老师从拉面的制作受到启发，设计了一个数学问题：如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB，对折后（点A与B重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（如在第一次操作后，原先段AB上的

1

4

，

3

4

均变成

1

2

，

1

2

变成1，等），那么在线段AB上（除A、B）的点中，问第n次操作，恰好被拉到与1重合的点所对应的数之和是

2^n-2

．

Answer 1

分析：根据题意，可知下一次的操作把上一次的对应点正好扩大了2倍．因为第一次操作后，原线段AB上的

1

4

，

3

4

均变成

1

2

，则第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数是

1

4

和

3

4

，则它们的和可求．根据题意，将恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标列出数据，找出规律，列出通式即可．

解答：解：第一次操作后，原线段AB上的

1

2

变为1，
第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数有2¹=2个，分别是

1

4

和

3

4

，其和为1，
第三次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数有2²=4个，分别是

1

8

、

3

8

、

5

8

和

7

8

，其和为2，
…，
可以推出第n次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数的通式为

1

2n

、

3

2n

…

2n-1

2n

，共有2^n-1个点，其和为

1+3+5+…+(2n-1)

2n

=

2n-1×2n 2

2n

=2^n-2．
故答案为：2^n-2．

点评：此题的难点是理解题意，能够发现对应点之间的变化规律：下一次的操作把上一次的对应点正好扩大了2倍．解答本题的难点是根据数据列出通式，方便比较数据之间的联系．