Question

10．如图，四边形ABCD是边长为8的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的B′处，点A的对应点为A′，且B′C=4．
（1）求CN的长；
（2）求AM的长；
（3）求MN的长．

Answer 1

分析 （1）根据翻折变换的性质得到B′N=BN，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案；
（2）连接BM，MB′，由于CB′=4，则DB′=4，在Rt△ABM和Rt△MDB′中由勾股定理求得AM的值；
（3）过M作MG⊥BC于G，于是得到BG=AM=1，MG=AB=8，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：（1）由题意得，B′N=BN，CN=8-BN，
由勾股定理得，B′N²=B′C²+CN²，
即B′N²=4²+（8-B′N）²，
解得，B′N=5，
∴CN=3；
（2）解：设AM=x，
连接BM，MB′，
由题意知，MB=MB′，
则有AB²+AM²=BM²=B′M²=MD²+DB′²，
即8²+x²=（8-x）²+（8-4）²，
解得x=1，
即AM=1；
（3）过M作MG⊥BC于G，
则BG=AM=1，MG=AB=8，
∵BN=B′N=5，
∴GN=4，
∴MN=$\sqrt{M{G}^{2}+G{N}^{2}}$=4$\sqrt{5}$．

点评 本题考查的是翻折变换的性质和正方形的性质，找出翻折变换中对应相等的线段和角是解题的关键，注意勾股定理和方程思想的准确运用．