Question

7．如图在平面直角坐标系中，直线y=-$\frac{3}{4}$x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，点P、Q同时从点A出发，运动时间为t秒．其中点P沿射线AB运动，速度为每秒4个单位长度，点Q沿射线AO运动，速度为每秒5个单位长度．以点Q为圆心，PQ长为半径作⊙Q．
（1）求证：直线AB是⊙Q的切线；
（2）过点A左侧x轴上的任意一点C（m，0），作直线AB的垂线CM，垂足为M．若CM与⊙Q相切于点D，求m与t的函数关系式（不需写出自变量的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，是否存在点C，直线AB、CM、y轴与⊙Q同时相切？若存在，请直接写出此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）只要证明△PAQ∽△BAO，即可推出∠APQ=∠AOB=90°，推出QP⊥AB，推出AB是⊙O的切线；
（2）分两种情形求解即可：①如图2中，当直线CM在⊙O的左侧与⊙Q相切时，设切点为D，则四边形PQDM是正方形．②如图3中，当直线CM在⊙O的右侧与⊙Q相切时，设切点为D，则四边形PQDM是正方形．分别列出方程即可解决问题．
（3）分两种情形讨论即可，一共有四个点满足条件．

解答 （1）证明：如图1中，连接QP．

在Rt△AOB中，OA=4，OB=3，
∴AB=$\sqrt{O{B}^{2}+O{A}^{2}}$=5，
∵AP=4t，AQ=5t，
∴$\frac{AP}{AQ}$=$\frac{OA}{AB}$=$\frac{4}{5}$，∵∠PAQ=∠BAO，
∴△PAQ∽△BAO，
∴∠APQ=∠AOB=90°，
∴QP⊥AB，
∴AB是⊙O的切线．

（2）解：①如图2中，当直线CM在⊙O的左侧与⊙Q相切时，设切点为D，则四边形PQDM是正方形．

易知PQ=DQ=3t，CQ=$\frac{5}{4}$•3t=$\frac{15t}{4}$，
∵OC+CQ+AQ=4，
∴m+$\frac{15}{4}$t+5t=4，
∴m=4-$\frac{35}{4}$t．
②如图3中，当直线CM在⊙O的右侧与⊙Q相切时，设切点为D，则四边形PQDM是正方形．

∵OC+AQ-CQ=4，
∴m+5t-$\frac{15}{4}$t=4，
∴m=4-$\frac{5}{4}$t．

（3）解：存在．理由如下：
如图4中，当⊙Q在y则的右侧与y轴相切时，3t+5t=4，t=$\frac{1}{2}$，
由（2）可知，m=-$\frac{3}{8}$或$\frac{27}{8}$．

如图5中，当⊙Q在y则的左侧与y轴相切时，5t-3t=4，t=2，
由（2）可知，m=-$\frac{27}{2}$或$\frac{3}{2}$．

综上所述，满足条件的点C的坐标为（-$\frac{3}{8}$，0）或（$\frac{27}{8}$，0）或（-$\frac{27}{2}$，0）或（$\frac{3}{2}$，0）．

点评 本题考查一次函数综合题、相似三角形的判定和性质、直线与圆的位置关系．正方形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题，属于中考压轴题．