Question

如图，有一个横截面是抛物线的运河，一次，运河管理员将一根长6m的钢管（AB）一端在运河底部A点，另一端露出水面并靠在运河边缘的B点，发现钢管4m浸没在水中（AC=4米），露出水面部分的钢管BC与水面部分的钢管BC与水面成30°的夹角（钢管与抛物线的横截面在同一平面内）
（1）以水面所在直线为x轴，建立如图所示的直角坐标系，求该运河横截面的抛物线解析式；
（2）若有一艘货船从当中通过，已知货船底部最宽处为12米，吃水深（即船底与水面的距离）为1米，此时货船是否能安全通过该运河？若能，请说明理由；若不能，则需上游开闸放水提高水位，当水位上升多少米时，货船能顺利通过运河？（船与河床之间的缝隙忽略不计）

Answer 1

分析：（1）顶点在y轴上的抛物线解析式为y=ax²+c．
（2）问是在（1）基础上令x=6求对应的y的值来判断．

解答：解：（1）过B点作BD垂直于x轴，垂足为D点．

∵∠OCA=30°，AC=4，
∴OA=2，OC=2

3

，
即得A（0，-2）．
∵BC=2，
∴得CD=

3

，BD=1，
即得到B（3

3

，1），
设解析式为y=ax²+c，
把A（0，-2），B（3

3

，1）代入
得a=

1

9

，c=-2，
所以该运河横截面的抛物线解析式为y=

1

9

x²-2．

（2）因为货船底部最宽处为12米，
令x=6，得y=2，
所以货船不能安全通过该运河，水位上升（1+2）即3米，货船能顺利通过运河．

点评：要求抛物线解析式必须求它上面点的坐标，可设一般式y=ax²+bx+c（a≠0），顶点式y=a（x+k）²+h，交点式y=a（x-m）（x-n）．