Question

【题目】如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝AC，CE是过点C的一条直线，且A、B在CE的异侧，AD⊥CE于D，BE⊥CE于E.

(1)求证:AD＝DE+BE.

(2)若直线CE绕点C旋转，使A、B在CE的同侧时(如图②)，AD与DE、BE的关系如何?请予以证明.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）AD=DE-BE，证明详见解析.

【解析】

（1）利用垂直的定义得∠ADC=∠CEB=90°，则根据互余得∠DAC+∠ACD=90°，再根据等角的余角相等得到∠DAC=∠BCE，然后根据“AAS”可判断△ADC≌△CEB，所以CD=BE，AD=CE，再利用等量代换得到AD＝DE+BE；（2）AD=DE-BE，类比（1）的方法证明△ADC≌△CEB，根据全等三角形的性质可得CD=BE，AD=CE，由此即可证得结论.

（1）证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，

∴∠ADC=∠CEB=90°，

∴∠DAC+∠ACD=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠BCE+∠ACD=90°，

∴∠DAC=∠BCE，

在△ADC和△CEB，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS），

∴CD=BE，AD=CE，

∴AE=CE=CD+DE=DE+BE；

（2）AD=DE-BE.

证明：∵AD⊥CE，BE⊥CE，

∴∠ADC=∠CEB=90°，

∴∠DAC+∠ACD=90°，

∵∠ACB=90°，

∴∠BCE+∠ACD=90°，

∴∠DAC=∠BCE，

在△ADC和△CEB，

，

∴△ADC≌△CEB（AAS），

∴CD=BE，AD=CE，

∴AD=EC=DE-CD=DE-BE.