Question

（2013•海门市一模）已知，如图，∠MON=60°，点A、B为射线OM，ON上的动点，且AB=4

3

，在∠MON的内部、△AOB的外部有一点P，且AP=BP，∠APB=120°．则线段OP的取值范围是

4≤OP≤8

．

Answer 1

分析：如图，由条件可以得出AOBP四点共圆，当OP是圆的直径时OP的值最大，当点O与点A或点B重合时OP的值最小，通过解直角三角形就可以求出结论．

解答：解：∵∠MON=60°，∠APB=120°，
∴∠MON+∠APB=180°，
∴四边形APBO四点共圆．
∴当OP为直径时，OP最大，
∴∠OAP=90°．
∵AP=BP，
∴∠AOP=∠BOP=

1

2

∠AOB=30°，∠PAB=∠PBA=30°，AD=BD=

1

2

AB=2

3

，
∴∠APO=60°，
∴∠ADP=90°．
∴AP=2DP
在Rt△ADP中，由勾股定理，得
DP=2，
∴AP=4．
∵∠AOP=30°，
∴OP=2AP，
∴OP=8．
当点O与顶A重合时，OP最小．作PD⊥AB于点D．
∵AP=BP，
∴AD=

1

2

AB=2

3

．
∵∠APB=120°，
∴∠PAD=30°，
∴AP=2DP．
在Rt△ADP中，由勾股定理，得
DP=2，
∴AP=4，
即OP=4．
∴OP的取值范围是：4≤OP≤8．

点评：本题考查了等腰三角形的性质的运用，垂径定理的性质的运用，勾股定理的运用，四点共圆定理的运用，解答时运用等腰三角形的性质及垂径定理求解是关键．