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    小明在证明“等腰三角形底边上的高线、底边上的中线和顶角的平分线互相重合”这一命题时，画出图形，写出“已知”、“求证”（如图）．
    （1）请你帮助小明完成证明过程．
    （2）请你作出判断：小明写出的“已知”、“求证”是否完整？在横线上填“是”或“否”．______
    （3）做完（1）后，小明模仿老师上课时的方法，又提出了如下几个问题：
    如：①若将题中“AD⊥BC”与“AD平分∠ABC”的位置交换，得到的是否仍是真命题？
    ②若将题中“AD⊥BC”与“BD=CD”的位置交换，得到的是否仍是真命题？请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①______ ②______ 并对②的判断作出证明．（若是则写出证明过程；若不是则举出一个反例）

    【答案】分析：（1）由AD⊥BC得到∠ADB=∠ADC=90°，然后根据“HL”得到Rt△ADB≌Rt△ADC，则∠BAD=∠CAD，BD=CD，即AD平分∠BAC；
    （2）小明写出的“已知”、“求证”是完整的；
    （3）若将题中“AD⊥BC”与“AD平分∠ABC”的位置交换或将题中“AD⊥BC”与“BD=CD”的位置交换，得到的结论仍是真命题，利用三角形全等的判定与性质进行证明．
    解答：（1）证明：∵AD⊥BC，
    ∴∠ADB=∠ADC=90°，
    在Rt△ADB和Rt△ADC中
    ，
    ∴Rt△ADB≌Rt△ADC（HL），
    ∴∠BAD=∠CAD，BD=CD，
    ∴AD平分∠BAC；
    （2）是；
    （3）①若将题中“AD⊥BC”与“AD平分∠ABC”的位置交换，得到的仍是真命题；
    ②若将题中“AD⊥BC”与“BD=CD”的位置交换，得到的仍是真命题；
    证明如下：在△ADB和△ADC中
    ，
    ∴△ADB≌△ADC（SSS），
    ∴∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC，
    ∴AD平分∠BAC，AD⊥BC．
    点评：本题考查了命题：判断一件事物的语句叫命题；正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题．也考查了三角形全等的判定与性质．
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    （1）请你帮助小明完成证明过程．
    （2）请你作出判断：小明写出的“已知”、“求证”是否完整？在横线上填“是”或“否”．
    是
    是

    （3）做完（1）后，小明模仿老师上课时的方法，又提出了如下几个问题：
    如：①若将题中“AD⊥BC”与“AD平分∠ABC”的位置交换，得到的是否仍是真命题？
    ②若将题中“AD⊥BC”与“BD=CD”的位置交换，得到的是否仍是真命题？请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①
    是
    是
     ②
    是
    是
     并对②的判断作出证明．（若是则写出证明过程；若不是则举出一个反例）

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    科目：初中数学 来源： 题型：044

    小明对小华说：“我在证明‘等腰三角形两腰上的高相等’的时候，发现利用“三角形的面积”很容易解决．你知道吗?”

    小华思索了一会，对小明说：“这个方法真好，但我发现这种方法还可以用来证明‘等腰三角形底边上的任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高’．”

    小明苦苦思索，但仍没有解决，就请小华帮助他，你知道小华是如何帮助小明的吗?请写出你的思路过程．

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    科目：初中数学 来源： 题型：解答题

    小明在证明“等腰三角形底边上的高线、底边上的中线和顶角的平分线互相重合”这一命题时，画出图形，写出“已知”、“求证”（如图）．
    （1）请你帮助小明完成证明过程．
    （2）请你作出判断：小明写出的“已知”、“求证”是否完整？在横线上填“是”或“否”．______
    （3）做完（1）后，小明模仿老师上课时的方法，又提出了如下几个问题：
    如：①若将题中“AD⊥BC”与“AD平分∠ABC”的位置交换，得到的是否仍是真命题？
    ②若将题中“AD⊥BC”与“BD=CD”的位置交换，得到的是否仍是真命题？请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①______ ②______ 并对②的判断作出证明．（若是则写出证明过程；若不是则举出一个反例）

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    科目：初中数学 来源：河北省模拟题 题型：解答题

    问题背景
    小明以一个等腰三角形ABC的两腰AB、AC为边，分别向两旁作等边三角形ABD和等边三角形ACE，以底边BC为边向上作等边三角形FBC(如图1)，在顺次连接A、D、F、E四边形ADFE是一个特殊的四边形。
    任务要求
    (l)试判断四边形ADFE的形状，并证明；
    (2)将△ABC的形状改为任意三角形（AB、BC、AC均不相等），在采用上述相同的作法后(如图2)，判断四边形ADFE的形状，并证明
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    (3)在得出上述结论后，他进一步提出，当△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是矩形？△ABC满足什么条件时，四边形ADFE是正方形？请你作出回答并说明理由．

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