Question

10．正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直．
（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；
（3）当M点运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求x的值．

Answer 1

分析 （1）欲证明Rt△ABM∽Rt△MCN，只要证明∠BAM=∠CMN即可．
（2）由△ABM∽△MCN，$\frac{AB}{MC}$=$\frac{BM}{CN}$，求出CN，根据梯形面积公式即可解决问题．
（3）由Rt△ABM∽Rt△AMN，得$\frac{AB}{AM}$=$\frac{BM}{MN}$，由（1）知

AM

MN

=

AB

MC

，推出

AB

BM

=

AB

MC

，推出BM=MC，由此解决问题．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAM∠AMB=90°，
∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠AMB∠CMN=90°，
∴∠BAM=∠CMN，
∵∠B=∠C=90°，
∴Rt△ABM∽Rt△MCN

（2）解：∵△ABM∽△MCN
∴$\frac{AB}{MC}$=$\frac{BM}{CN}$，
∴$\frac{4}{4-x}=\frac{x}{CN}$，
∴CN=$\frac{4x-{x}^{2}}{4}$
∴y=$\frac{1}{2}$（AB+CN）•BC
=-$\frac{1}{2}$x²+2x+8．（0＜x＜4）

（3）解：∵∠B=∠AMN=90°，
∴要使△ABM∽△AMN，必须有

AB

AM

=

BM

MN

，
由（1）知

AM

MN

=

AB

MC

，
∴

AB

BM

=

AB

MC

，
∴BM=MC，
∴当点M运动到BC的中点时，△ABM∽△AMN，此时x=2．

点评 本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质．梯形的面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．