Question

19．已知关于x的一元二次方程（m-1）x²-（m+1）x+2=0，其中m≠1．
（1）求证：此方程总有实根；
（2）若此方程的两根均为正整数，求整数m的值．

Answer 1

分析 （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得出△=（m-3）²≥0恒成立，由此即可证出此方程总有实根；
（2）利用分解因式法解一元二次方程，再根据方程的两根均为正整数且m为整数，即可得出m-1=1或m-1=2，解之即可得出整数m的值．

解答 （1）证明：在方程（m-1）x²-（m+1）x+2=0中，△=[-（m+1）]²-4×2（m-1）=m²-6m+9=（m-3）²，
∵（m-3）²≥0恒成立，
∴方程（m-1）x²-（m+1）x+2=0总有实根；…（2分）
（2）解：（m-1）x²-（m+1）x+2=（x-1）[（m-1）x-2]=0，
解得：x₁=1，x₂=$\frac{2}{m-1}$．
∵方程（m-1）x²-（m+1）x+2=0的两根均为正整数，且m是整数，
∴m-1=1或m-1=2，
∴m=2或m=3．

点评 本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有实数根”；（2）利用分解因式法解方程，求出x₁=1，x₂=$\frac{2}{m-1}$．