Question

5．如图，直线y=x+1与y轴交于点A，与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象交于点M，MH⊥x轴于点H，tan∠AHO=$\frac{3}{2}$．
（1）求点H的坐标；
（2）求k的值；
（3）过点H作直线y=x+1的平行线，交反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＞0）的图象于点N，求点N的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据AO=1，tan∠AHO=$\frac{3}{2}$，可得HO=$\frac{2}{3}$，进而得到点H的坐标；
（2）先求得M（$\frac{2}{3}$，$\frac{5}{3}$），再把M的坐标代入反比例函数y=$\frac{k}{x}$，可得k=$\frac{10}{9}$；
（3）先根据H的坐标求得直线HN的解析式，再解方程组，即可得到点N的坐标．

解答 解：（1）∵直线y=x+1与y轴交于点A，
∴A（0，1），即AO=1，
∵tan∠AHO=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{AO}{HO}$=$\frac{3}{2}$，即HO=$\frac{2}{3}$，
∴点H的坐标为（$\frac{2}{3}$，0）；

（2）∵MH⊥x轴于点H，
∴点M的横坐标为$\frac{2}{3}$，
令x=$\frac{2}{3}$，则y=$\frac{2}{3}$+1=$\frac{5}{3}$，
∴M（$\frac{2}{3}$，$\frac{5}{3}$），
把M的坐标代入反比例函数y=$\frac{k}{x}$，可得
k=$\frac{10}{9}$；

（3）设过H的直线HN的解析式为y=x+b，
把H（$\frac{2}{3}$，0）代入，可得b=-$\frac{2}{3}$，
∴直线HN的解析式为：y=x-$\frac{2}{3}$，
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=x-\frac{2}{3}}\\{y=\frac{10}{9x}}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1+\sqrt{11}}{3}}\\{y=\frac{-1+\sqrt{11}}{3}}\end{array}\right.$，（负值已舍去）
∴N（$\frac{1+\sqrt{11}}{3}$，$\frac{-1+\sqrt{11}}{3}$）．

点评 本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，以及解直角三角形的运用，解题时注意：把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．