Question

如图，在△ABC中AC=BC，∠ACB=90°，以BC为直径作⊙O，连接OA，交⊙O于点D，过D点作⊙O的切线交AC于点E，连接B、D并延长交AC于点F．则下列结论错误的是（　　）

• A、△ADE∽△ACO
• B、△AOC∽△BFC
• C、△DEF∽△DOC
• D、CD²=DF•DB

Answer 1

分析：根据相似三角形的判定定理，对各选项的三角形进行分析证明，然后利用排除法求解．

解答：解：A、∵DE是⊙O的切线，
∴∠ADE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ADE=∠ACB，
∵∠DAE=∠CAO，
∴△ADE∽△ACO；
故本选项正确；
B、假设△AOC∽△BFC，
则有∠OAC=∠FBC，
∵∠ACB=90°，以BC为直径作⊙O，
∴AC是⊙O的切线，
∴∠ACD=∠FBC，
∵∠ODC=∠OAC+∠ACD=2∠OAC，∠COD=2∠FBC（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴∠ODC=∠COD，
∴OC=CD，
又∵OD=OC，
∴OC=CD=OD，
即△OCD是等边三角形，∠AOC=60°，
∴AC=

3

OC①，
而在△ABC中，AC=BC，BC=2OC，
∴AC=2OC②，
∴假设与题目条件相矛盾，
故假设不成立，所以△AOC与△BFC不相似；
故本选项错误；
C、∵∠ACB=90°，
∴∠CBD+∠BFC=90°，
∴BC是⊙O的直径，
∴∠CBD+∠BCD=90°，
∴∠BCD=∠BFC，
∵DE是⊙O的切线，AC是⊙O的切线，
∴∠CDE=∠CED=∠CBD，
又∵∠AED=∠CDE+∠CED=2∠CBD，
∠COD=2∠CBD，
∴∠AED=∠COD，
在△DEF∽△DOC中，

∠BCD=∠BFC ∠AED=∠COD

，
∴△DEF∽△DOC，
故本选项正确；
D、∵BC为⊙O的直径，
∴∠CDB=90°，
∴CD⊥BF，
∵∠ACB=90°，
∴CD²=DF•DB，
故本选项正确．
故选B．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定，圆周角定理以及切线的性质，本题利用反证法，先假设成立，再推出矛盾，从而推翻假设，题目综合性较强，难度较大．