Question

12．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B=∠C=90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，如图，则下列说法正确的有（　　）个．
（1）AE平分∠DAB；（2）△EBA≌△DCE；（3）AB+CD=AD；（4）AE⊥DE；（5）AB∥CD．

• A． 2个
• B． 3个
• C． 4个
• D． 5个

Answer 1

分析 取AD的中点F，连接EF．根据平行线的性质可证得（1）（4）（5），根据梯形中位线定理可证得（3）正确．根据全等三角形全等的判定可证得（2）的正误，即可得解．

解答 解：如图：取AD的中点F，连接EF．
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD；[结论（5）]
∵E是BC的中点，F是AD的中点，
∴EF∥AB∥CD，2EF=AB+CD（梯形中位线定理）①；
∴∠CDE=∠DEF（两直线平等，内错角相等），
∵DE平分∠ADC，
∴∠CDE=∠FDE=∠DEF，
∴DF=EF；
∵F是AD的中点，∴DF=AF，
∴AF=DF=EF②，
由①得AF+DF=AB+CD，即AD=AB+CD；[结论（3）]
由②得∠FAE=∠FEA，
由AB∥EF可得∠EAB=∠FEA，
∴∠FAE=∠EAB，即EA平分∠DAB；[结论（1）]
由结论（1）和DE平分∠ADC，且DC∥AB，可得∠EDA+∠DAE=90°，则∠DEA=90°，即AE⊥DE；[结论（4）]．
由以上结论及三角形全等的判定方法，无法证明△EBA≌△DCE．
正确的结论有4个．
故选C．

点评 本题考查了平行线的判定及性质、梯形中位线定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定等知识点，是一道难度较大的综合题型．