Question

1．问题背景  如图①，点E是正方形ABCD边BC的中点，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F，易证AE=EF；（不需要证明）
（1）问题变式  若把问题背景中的“点E是正方形ABCD边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B、C外）的任意一点”，其他条件不变（如图②），那么结论“AE=EF”仍然成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（2）问题拓展 在问题变式的基础上，试问在AB上是否存在一点N，使得以D、N、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，写出证明过程；若不存在，请说明理由；

Answer 1

分析 （1）截取BE=BM，连接EM，求出AM=EC，得出∠BME=45°，求出∠AME=∠ECF=135°，求出∠MAE=∠FEC，根据ASA推出△AME和△ECF全等即可；
（2）存在．如图3，作DN⊥AE于AB交于点N，则有：DN∥EF，连接NE、DF，由△ADN≌△BAE（ASA），推出DN=AE，由由（1）AE=EF，推出DN=EF，由此即可证明；

解答 解：（1）成立，
理由：如图2，在AB上截取BM=BE，连接ME，
∵∠B=90°，
∴∠BME=∠BEM=45°，
∴∠AME=135°=∠ECF，
∵AB=BC，BM=BE，
∴AM=EC，
在△AME和△ECF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MAE=∠CEF}\\{AM=EC}\\{∠AME=∠ECF}\end{array}\right.$，
∴△AME≌△ECF（ASA），
∴AE=EF；

（2）存在，
理由如下：如图3，作DN⊥AE于AB交于点N，则有：DN∥EF，连接NE、DF，
在△ADN与△BAE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ADN=∠BAE}\\{AD=AB}\\{∠DAN=∠ABE}\end{array}\right.$，
∴△ADN≌△BAE（ASA），
∴DN=AE，
∵由（1）AE=EF，
∴DN=EF，
∴四边形DNEF为平行四边形．

点评 本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，平行四边形的判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．