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    精英家教网在直角坐标系中，抛物线y=-
    12
    x2+mx-n与x轴交于A、B两点．与y轴交于C点．已知A、B两点都在x轴负半轴上（A左B右），△AOC与△COB相似，且tan∠CBO=4tan∠BCO．
    （1）求抛物线的解析式；
    （2）若此抛物线的对称轴与直线y=nx交于D．以D为圆心，作与x轴相切的圆，交y轴于M、N两点．求劣弧MN所对的弓形面积；
    （3）在y轴上是否存在一点F，使得FD+FA的值最小，若存在，求出△ABF的面积，若不存在，说明理由．
    分析：（1）当x=0时，得点C（0，-n），由tan∠CBO=4tan∠BCO，得点B（-
    n
    2
    ，0），根据△AOC与△COB相似，得点A（-2n，0），然后把A，B两点的坐标代入抛物线，求出抛物线的解析式．
    （2）抛物线的对称轴为x=-
    5
    2
    ，直线y=2x，求出点D的坐标，确定圆的半径，利用垂径定理得到M，N的坐标，然后求出弓形的面积．
    （3）求出点D关于y轴的对称点E的坐标，连接AE交y轴于点F，求出点F的坐标，计算出△ABF的面积．
    解答：精英家教网解：（1）当x=0时，y=-n，
    ∴C（0，-n）．
    ∵tan∠CBO=
    OC
    OB
    ，tan∠BCO=
    OB
    OC
    ，
    ∴
    OC
    OB
    =4
    OB
    OC

    ∴OC=2OB
    ∴B（-
    n
    2
    ，0）
    ∵△AOC∽△COB
    ∴OC2=OA•OB
    ∴A（-2n，0）
    把A，B两点的坐标代入抛物线得：
    -
    1
    2
    • 
    n2
    4
    -m•
    1
    2
    n-n=0
    -
    1
    2
    •4n2-2mn-n=0

    解方程组得：
    m=-
    5
    2
    n=2

    所以抛物线的解析式为：y=-
    1
    2
    x2-
    5
    2
    x-2；

    （2）抛物线的对称轴为：x=-
    5
    2
    ，
    y=2x，
    ∴D（-
    5
    2
    ，-5），
    如图：连接DM，DN，过点D作DH⊥MN于H，
    则：DM=5，DH=
    5
    2
    ，
    ∴∠MDH=60°，
    ∴∠MDN=120°
    S弓形=S扇形MDN-S△MDN
    =
    1
    3
    π•25-
    1
    2
    •
    5
    2
    •5
    		3

    =
    25π
    3
    -
    24
    		3
    4
    ；

    （3）点D关于y轴的对称点E（
    5
    2
    ，-5）
    点A（-4，0），
    AE的解析式为：y=-
    10
    13
    x-
    40
    13

    ∴F（0，-
    40
    13
    ）
    S△ABF=
    1
    2
    AB•OF=
    1
    2
    •3•
    40
    13
    =
    60
    13
    ．
    点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）用待定系数法确定抛物线的解析式，（2）数形结合，确定圆的半径和扇形的圆心角，计算弓形的面积，（3）根据对称性确定点F的坐标，然后求出三角形的面积．
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