Question

16．如图，已知菱形ABCD的两条对角线长分别是3和4，点M、N分别是边BC、CD的中点，点P是对角线上的一点，则PM+PN的最小值是$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出CP、PB，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．

解答 解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，
即Q在AB上，
∵MQ⊥BD，
∴AC∥MQ，
∵M为BC中点，
∴Q为AB中点，
∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，
∴BQ∥CD，BQ=CN，
∴四边形BQNC是平行四边形，
∴NQ=BC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴CP=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{3}{2}$，BP=$\frac{1}{2}$BD=2，
在Rt△BPC中，由勾股定理得：BC=$\sqrt{C{P}^{2}+B{P}^{2}}$=$\frac{5}{2}$，
即NQ=$\frac{5}{2}$，
∴MP+NP=QP+NP=QN=$\frac{5}{2}$，
故答案为：$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了轴对称-最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置．