Question

1．如图，已知AB是⊙O的直径，AM和BN是⊙O的两条切线，点E是⊙O上一点，点D是AM上一点，连接DE并延长交BN于点C，连接OD、BE，且OD∥BE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AD=l，BC=5，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）连接OE，由OE=OB，利用等边对等角得到一对角相等，再由OD与BE平行，得到一对同位角及一对内错角相等，等量代换得到∠AOD=∠OBE=∠OEB=∠EOD，再由OA=OE，OD=OD，利用SAS得到三角形AOD与三角形EOD全等，由全等三角形对应角相等得到∠OAD=∠OED，根据AM为圆O的切线，利用切线的性质得到∠OAD=∠OED=90°，即可得证；
（2）过点D作BC的垂线，垂足为H，由BN与圆O切线于点B，得到∠ABC=90°=∠BAD=∠BHD，利用三个角为直角的四边形为矩形得到ADHB为矩形，利用矩形的对边相等得到BH=AD=1，AB=DH，由BC-BH求出HC的长，AD、CB、CD分别切⊙O于点A、B、E，利用切线长定理得到AD=DE=1，EC=BC=5，在直角三角形DHC中，利用勾股定理求出DH的长，即为AB的长，即可求得半径．

解答 （1）证明：连接OE，
在⊙O中，OA=OE=OB，
∴∠OBE=∠OEB，
∵OD∥BE，
∴∠AOD=∠OBE=∠OEB=∠EOD，
在△AOD和△EOD中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OE}\\{∠AOD=∠EOD}\\{OD=OD}\end{array}\right.$，
∴△AOD≌△EOD（SAS），
∴∠OAD=∠OED，
∵AM是⊙O的切线，切点为A，
∴BA⊥AM，
∴∠OAD=∠OED=90°，
∴OE⊥DE，
∵OE是⊙O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
（2）解：过点D作BC的垂线，垂足为H，
∵BN切⊙O于点B，
∴∠ABC=90°=∠BAD=∠BHD，
∴四边形ABHD是矩形，
∴AD=BH=1，AB=DH，
∴CH=BC-BH=5-1=4，
∵AD、CB、CD分别切⊙O于点A、B、E，
∴AD=ED=1，BC=CE=5，
∴DC=DE+CE=1+5=6，
在Rt△DHC中，DC²=DH²+CH²，
∴AB=DH=$\sqrt{{6}^{2}-{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∴⊙O的半径为$\sqrt{5}$．

点评 此题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．