Question

18．如图，在平面直角坐标系中，射线OA交反比例函数y=$\frac{1}{x}$（x＞0）图象于点P，点R为反比例函数y=$\frac{1}{x}$（x＞0）图象上的另一点，且PR=2OP，分别过点P、R作x轴、y轴的平行线，两线相交于点M（a，b），直线MR交x轴于点B，过点P作y轴的平行线分别交直线OM和x轴于点Q、H，连接RQ．
（1）求出点P、R的坐标和直线OM 的解析式（用含a、b 的式子表示）；
（2）试探究∠MOB和∠AOB之间的数量关系，并说明理由；
（3）如果将反比例函数y=$\frac{1}{x}$（x＞0）改为y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）时，上述（2）中的结论是否成立是（填“是”或“否”）．

Answer 1

分析 （1）直接利用坐标的特点和反比例函数的解析式即可得出结论；
（2）先判断出PR，MQ是矩形的对角线，进而得出∠PSO=2∠MOB，再由PR=2OP即可得出PS=OP，即：∠PSO=∠POS，最后代换即可得出结论；
（3）同（2）的方法．

解答 解：（1）∵MB⊥x轴，M（a，b），
∴B（a，0），R的横坐标为a，
∵PM⊥y轴，
∴P的纵坐标为b，
∵点P，R在反比例函数y=$\frac{1}{x}$（x＞0）图象上，
∴P（$\frac{1}{b}$，b），Q（a，$\frac{1}{a}$），
∵M（a，b），
∴直线OM解析式为y=$\frac{b}{a}$x，
（2）∠AOB=3∠MOB，
理由：由题意知，四边形PQRM是矩形，PR，MQ是矩形对角线，
∴PS=RS=QS，
∴∠MQR=∠PRQ，
∴∠PSO=2∠MQR，
∵QR∥OB，
∴∠MQR=∠MOB，
∴∠PSO=2∠MOB，
∵PR=2OP，
∴PO=PS，
∴∠PSO=∠POS，
∴∠POS=2∠MOB，
∴∠AOB=∠POS+∠MOB=2∠MOB+∠MOB=3∠MOB，
即：∠AOB=3∠MOB，
（3）是成立，
理由：由题意知，四边形PQRM是矩形，PR，MQ是矩形对角线，
∴PS=RS=QS，
∴∠MQR=∠PRQ，
∴∠PSO=2∠MQR，
∵QR∥OB，
∴∠MQR=∠MOB，
∴∠PSO=2∠MOB，
∵PR=2OP，
∴PO=PS，
∴∠PSO=∠POS，
∴∠POS=2∠MOB，
∴∠AOB=∠POS+∠MOB=2∠MOB+∠MOB=3∠MOB，
即：∠AOB=3∠MOB．

点评 此题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数解析式，待定系数法，矩形的判定和性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，解本题的关键是得出，∠POS=2∠MOB，是一道中等难度的中考常考题．