Question

1．如图①，直线y=$\frac{4}{3}$x+4交于x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线F₁交x轴于另一点B（1，0）．
（1）求抛物线F₁所表示的二次函数的表达式；
（2）若点M是抛物线F₁位于第二象限图象上的一点，设四边形MAOC和△BOC的面积分别为S_{四边形MAOC}和S_△BOC，记S=S_{四边形MAOC}-S_△BOC，求S最大时点M的坐标及S的最大值；
（3）如图②，将抛物线F₁沿y轴翻折并“复制”得到抛物线F₂，点A、B与（2）中所求的点M的对应点分别为A′、B′、M′，过点M′作M′E⊥x轴于点E，交直线A′C于点D，在x轴上是否存在点P，使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据自变量与函数值得对应关系，可得A．C点坐标，根据待定系数法，可得答案；
（2）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案；
（3）根据待定系数法，可得函数解析式，根据相似三角形的性质，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案．

解答 解：（1）令y=0代入y=$\frac{3}{4}$x+4，
∴x=-3，A（-3，0），
令x=0，代入y=$\frac{3}{4}$x+4，∴y=4，∴C（0，4），
设抛物线F₁的解析式为：y=a（x+3）（x-1），
把C（0，4）代入上式得，a=-$\frac{4}{3}$，
∴y=-$\frac{4}{3}$x²-$\frac{8}{3}$x+4，

（2）如图1，
设点M（a，-$\frac{4}{3}$a²-$\frac{8}{3}$a+4），其中-3＜a＜0
∵B（1，0），C（0，4），
∴OB=1，OC=4
∴S_△BOC=$\frac{1}{2}$OB•OC=2，
过点M作MD⊥x轴于点D，
∴MD=-$\frac{4}{3}$a²-$\frac{8}{3}$a+4，AD=a+3，OD=-a，
∴S_{四边形MAOC}=$\frac{1}{2}$AD•MD+$\frac{1}{2}$（MD+OC）•OD
=$\frac{1}{2}$AD•MD+$\frac{1}{2}$OD•MD+$\frac{1}{2}$OD•OC
=$\frac{1}{2}$MD（AD+OD）+$\frac{1}{2}$OD•OC
=$\frac{1}{2}$MD•OA+$\frac{1}{2}$OD•OC
=$\frac{1}{2}$×3（-$\frac{4}{3}$a²-$\frac{8}{3}$a+4）+$\frac{1}{2}$×4×（-a）
=-2a²-6a+6
∴S=S_{四边形MAOC}-S_△BOC
=（-2a²-6a+6）-2
=-2a²-6a+4
=-2（a+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{17}{2}$
∴当a=-$\frac{3}{2}$时，S有最大值，最大值为$\frac{17}{2}$，此时，M（-$\frac{3}{2}$，5）；

（3）如图2，
由题意知：M′（$\frac{3}{2}$，5），B′（-1，0），A′（3，0），
∴AB′=2
设直线A′C的解析式为：y=kx+b，把A′（3，0）和C（0，4）代入y=kx+b，
得：$\left\{\begin{array}{l}{b=4}\\{3k+b=0}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{4}{3}}\\{b=4}\end{array}\right.$
∴y=-$\frac{4}{3}$x+4，
令x=$\frac{3}{2}$代入y=-$\frac{4}{3}$x+4，
∴y=2，∴D（$\frac{3}{2}$，2）
由勾股定理分别可求得：AC=5，DA′=$\frac{5}{2}$
设P（m，0），当m＜3时，此时点P在A′的左边，
∴∠DA′P=∠CAB′，
当$\frac{DA′}{PA′}$=$\frac{AC}{AB′}$时，△DA′P∽△CAB′，此时，$\frac{5}{2}$=$\frac{5}{2}$（3-m），
解得：m=2，
∴P（2，0）
当$\frac{DA′}{PA′}$=$\frac{AB′}{AC}$时，△DA′P∽△B′AC，此时，$\frac{5}{2}$=$\frac{5}{2}$（3-m）
m=-$\frac{13}{4}$，
∴P（-$\frac{13}{4}$，0）
当m＞3时，此时，点P在A′右边，由于∠CB′O≠∠DA′E，
∴∠AB′C≠∠DA′P，
∴此情况，△DA′P与△B′AC不能相似，
综上所述，当以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似时，点P的坐标为（2，0）或（-$\frac{13}{4}$，0）．

点评 本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法，解（2）的关键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质；解（3）的关键是利用相似三角形的判定得出关于m的方程，要分类讨论，以防遗漏．