解：（1）作线段AC的中垂线BD即可．
（2）小毛不会成功．
若直线CD平分△ABC的面积，那么S
△ADC=S
△DBC．
如图2，过点C作CE⊥AB，垂足为E．
则
则BD=AD，
∵AC≠BC，
∴AD+AC≠BD+BC
∴小毛不会成功．
（3）分类讨论：
①如图3，若分割直线经过△ABC顶点，由（1）（2）可知，只有过等腰三角形的顶角顶点的直线是才可能为“等分积周线”，
即底AC边上的中垂线BD为此时△ABC的“等分积周线”．
②若分割直线不经过△ABC顶点，则分割直线将ABC分割为一个三角形和一个四边形．可分以下三种情况：
（a）直线EF与BC、AC分别交于E、F，如图4所示．
若直线EF平分三角形的周长16，则CF与CE的和是8．
设CF=x，则CE=8-x．CB=5，CG=3，BG=
=4，
∵EH∥BG，
∴△CEH∽△CBG，
∴
=
，
∴
=
，
EH=
，
若分割的两部分面积相等，则
S
△CEF=6，
即
，
解得x=3（舍去，即为①）或x=5，
∴当CF=5，CE=3时，直线EF即为所求△ABC的一条“等分积周线”．
（b）若直线E
1F
1与AB、AC分别交于E
1、F
1，如图5所示．
由a同理可得，当A E
1=3，A F
1=5，直线E
1F
1即为所求△ABC的一条“等分积周线”．
（c）若直线PQ与AB、BC分别交于P、Q，如图6所示．
设BQ=x，则BP=8-x．
∵AG×5=4×6，
∴AG=
，
∵PH∥AG，
∴△PHB∽△AGB，
∴
=
，
∴
=
，
PH=
若分割的两部分面积相等，则
S
△PBQ=6，
即
，
整理可得出：2x
2-16x+25=0，
解得：x
1=
＞5（舍去），x
2=
，
而当BQ=
时，BP=
＞5，应舍去．
故此种情况不存在．
综上所述，符合条件的直线共有三条，直线BD、直线EF、直线E
1F
1．
分析：（1）根据等腰三角形三线合一的性质，作线段AC的中垂线BD即可．
（2）小毛不会成功．直线CD可能平分△ABC的面积，若也平分周长，则AC=BC，与题中的AC≠BC冲突，故不会成功；
（3）①若直线经过顶点，则AC边上的中垂线即为所求．
②若直线不过顶点，可分以下三种情况考虑：（a）直线与BC、AC分别交于E、F，CF=5，CE=3；（b）直线与AB、AC分别交于M、N，AM=3，AN=5，（c）直线与AB、BC分别交于P、Q，此种情况不存在．则符合条件的直线共有三条．
点评：此题主要考查了相似三角形的综合应用以及相似三角形的判定与性质和等腰三角形的性质等知识，运用分类讨论的数学思想得出是解题关键．
