Question

【题目】已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB＝OC。

（1）如图①，若点O在BC上，求证：AB＝AC；

（2）如图②，若点O在△ABC的内部，上题的结论还成立吗？为什么？

（3）若点O在△ABC的外部，AB＝AC成立吗？请画图表示。

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）成立，证明详见解析；（3）不一定成立，图详见解析.

【解析】

（1）根据已知条件易证Rt△BOD≌Rt△COE，即可得∠B=∠C，根据等角对等边的性质，即可证得AB=AC；（2）结论成立，根据已知条件易证得Rt△BOD≌Rt△COE，然后又由OB=OC，根据等边对等角的性质，易证得∠ABC=∠ACB，根据等角对等边的性质可得AB=AC；（3）不一定成立，当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时，类比（1）的方法可证AB=AC；当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线不重合时，过点O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC的延长线于点E，连接OA，由题意可得OD=OE，根据角平分线的判定定理可得点O在∠BAC的平分线上，易证△ADO≌△AEO，可得AD=AE，由此可得AB≠AC．

（1）由题意可得，OD=OE，∠ODB=∠OEC=90°，

在Rt△BOD和Rt△COE中，

∵，

∴Rt△BOD≌Rt△COE（HL），

∴∠B=∠C，

∴AB=AC；

（2）点O在△ABC的内部，上题的结论成立,理由如下：

由题意可得，OD=OE，∠ODB=∠OEC=90°，

在Rt△BOD和Rt△COE中，

∵，

∴Rt△BOD≌Rt△COE（HL），

∴∠DBO=∠ECO，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC；

（3）不一定成立，当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时AB=AC，否则AB≠AC．

证明：①当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线重合时（如图3），过点O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC的延长线于点E，

则OD=OE，∠ODB=∠OEC=90°，

在Rt△BOD和Rt△COE中，

∵，

∴Rt△BOD≌Rt△COE（HL），

∴∠DBO=∠ECO，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠DBC=∠ECB，

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC．

②当∠A的平分线所在直线与边BC的垂直平分线不重合时（如图4），

过点O作OD⊥AB于D，作OE⊥AC的延长线于点E，连接OA，由题意可得OD=OE，根据角平分线的判定定理可得点O在∠BAC的平分线上，易证△ADO≌△AEO，可得AD=AE，由此可得AB≠AC．