Question

9．如图，已知抛物线C₂：y=mx²+nx+p与抛物线C₁：y=$\frac{2}{3}$x²+$\frac{16}{3}$x+8关于y轴对称，抛物线C₂与y轴交于点C，与x轴交于点A和B．
（1）①求出抛物线C₂的解析式；
②试猜想出与抛物线y=ax²+bx+c关于y轴对称的抛物线的解析式（不要求证明）；
（2）P为B点右侧抛物线C₂上的一点，PQ⊥BC于点Q，若△CQO的面积为△CPQ的面积的2倍，求P点的坐标；
（3）过点C的一条直线与抛物线C₁、抛物线C₂相交于M、N两点，是否存在这样的直线，使得∠MON=90°？若存在，请求出直线MN的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）①先求出抛物线C₁与x、y轴的交点，再求出其关于y轴对称的点的坐标，代入抛物线C₂即可得出m、n、p的值，进而得出其解析式；
②根据①中两抛物线的解析式即可得出规律；
（2）作OH⊥BC于点H，PD∥x轴交BC于点D，求出B、C两点的坐标，根据三角形的面积公式求出OH的长，由S_△CQO=2S_△CPQ得出PQ=$\frac{1}{2}$OH，再根据sin∠PDQ=sin∠OBC=$\frac{4}{5}$得出$\frac{PQ}{PD}$=$\frac{4}{5}$，故PD=3．由直线BC的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+8，可设D（t，-$\frac{4}{3}$t+8），再由点t在抛物线C₂上可得出t的值，进而得出P点坐标；
（3）设直线MN的解析式为y=kx+8．过M、N分别作ME⊥x轴，NF⊥x轴，用k表示出M、N的坐标，再由△MOE∽△ONF可得出k的值，进而得出结论．

解答 解：（1）①∵抛物线C₁的解析式为y=$\frac{2}{3}$x²+$\frac{16}{3}$x+8，
∴抛物线C₁与x、y轴的交点分别为（-2，0），（-6，0），（0，8），
∴A（2，0），B（6，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}4m+2n+p=0\\ 36m+6+p=0\\ p=8\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}m=\frac{2}{3}\\ n=\frac{16}{3}\\ p=8\end{array}\right.$，
∴抛物线C₂的解析式为：y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{16}{3}$x+8；

②由①可知，与抛物线y=ax²+bx+c关于y轴对称的抛物线的解析式为y=ax²-bx+c；

（2）作OH⊥BC于点H，PD∥x轴交BC于点D．
∵y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{16}{3}$x+8，
∴B（6，0），C（0，8），
∴OB=6，OC=8，BC=10，
∴OH=$\frac{OB•OC}{BC}$=$\frac{24}{5}$．
∵S_△CQO=2S_△CPQ，
∴PQ=$\frac{1}{2}$OH=$\frac{12}{5}$．
∵sin∠PDQ=sin∠OBC=$\frac{4}{5}$，
∴$\frac{PQ}{PD}$=$\frac{4}{5}$，
∴PD=3．
由直线BC的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x+8，可设D（t，-$\frac{4}{3}$t+8），
∴P（t+3，-$\frac{4}{3}$t+8）．
∵y=$\frac{2}{3}$x²-$\frac{16}{3}$x+8，
∴-$\frac{4}{3}$t+8=$\frac{2}{3}$（t+3）²-$\frac{16}{3}$（t+3）+8，
∴t=$\sqrt{15}$或t=-$\sqrt{15}$（舍去），
∴P（3+$\sqrt{15}$，8-$\frac{4\sqrt{15}}{3}$）；

（3）设直线MN的解析式为y=kx+8．过M、N分别作ME⊥x轴，NF⊥x轴．
联立：$\left\{\begin{array}{l}y=kx+8\\ y=\frac{2}{3}{x}^{2}+\frac{16}{3}x+8\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}y=kx+8\\ y=\frac{2}{3}{x}^{2}-\frac{16}{3}x+8\end{array}\right.$，
∴M（$\frac{3}{2}$k-8，$\frac{3}{2}$k²-8k+8），N（$\frac{3}{2}$k+8，$\frac{3}{2}$k²+8k+8），
∵∠MON=90°，
∴△MOE∽△ONF，
∴$\frac{OM}{ME}$=$\frac{NF}{ON}$，
∴OM-ON=ME-NF，
∴（8-$\frac{3}{2}$k）（$\frac{3}{2}$k+8）=（$\frac{3}{2}$k²+8k+8）（$\frac{3}{2}$k²-8k+8），
∴64-$\frac{9}{4}$k²=（$\frac{3}{2}$k²+8）²-64k²=$\frac{9}{4}$k⁴+24k²+64-64k²，
∴$\frac{9}{4}$k⁴-$\frac{151}{4}$k²=0，
∴k=0或k=$\frac{\sqrt{151}}{3}$或k=-$\frac{\sqrt{151}}{3}$．
∴直线MN的解析式为y=8或y=$\frac{\sqrt{151}}{3}$x+8或y=-$\frac{\sqrt{151}}{3}$x+8．

点评 本题考查的是二次函数综合题，涉及到二次函数图象上点的坐标特点、三角形的面积公式等知识，根据题意作出辅助线，利用数形结合求解是解答此题的关键．