Question

设α，β是方程4x²-4mx+m+2=0，（x∈R）的两个实根，当m为何值时，α²+β²有最小值？并求出这个最小值．

Answer 1

分析：由已知中α，β是方程4x²-4mx+m+2=0，（x∈R）的两个实根，则首先应判断△≥0，即方程有两个实数根，然后根据韦达定理（一元二次方程根与系数）的关系，给出α²+β²的表达式，然后根据二次函数的性质，即可得到出m为何值时，α²+β²有最小值，进而得到这个最小值．

解答：解：若α，β是方程4x²-4mx+m+2=0，（x∈R）的两个实根
则△=16m²-16（m+2）≥0，即m≤-1，或m≥2
则α+β=m，α×β=

m+2

4

，
则α²+β²=（α+β）²-2αβ=m²-2×

m+2

4

=m²-

1

2

m-1=（m-

1

4

）²-

17

16

∴当m=-1时，α²+β²有最小值，最小值是

1

2

．

点评：本题考查的知识点是一元二次方程根的分布与系数的关系，一次函数的性质，其中易忽略，方程有两个根时△≥0的限制，直接利用韦达定理和二次函数的性质求解，而错解为当x=

1

4

时，最小值为-

17

16

．