如图.在△ABC中.BA=BC=20cm.AC=30cm.点P从A出发.沿AB以4cm/s的速度向点B运动,同时点Q从C点出发.沿CA以3cm/s的速度向A点运动．设运动时间为x(s)．(1)当x为何值时.PQ∥BC,(2)当△APQ与△CQB相似时.AP的长为$\frac{40}{9}$cm或20cm,(3)当S△BCQ:S△ABC=1:3.求S△APQ:S△ABQ� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

12．

如图，在△ABC中，BA=BC=20cm，AC=30cm，点P从A出发，沿AB以4cm/s的速度向点B运动；同时点Q从C点出发，沿CA以3cm/s的速度向A点运动．设运动时间为x（s）．
（1）当x为何值时，PQ∥BC；
（2）当△APQ与△CQB相似时，AP的长为$\frac{40}{9}$cm或20cm；
（3）当S_△BCQ：S_△ABC=1：3，求S_△APQ：S_△ABQ的值．

分析（1）当PQ∥BC时，根据平行线分线段成比例定理，可得出关于AP，PQ，AB，AC的比例关系式，我们可根据P，Q的速度，用时间x表示出AP，AQ，然后根据得出的关系式求出x的值．
（2）本题要分两种情况进行讨论．已知了∠A和∠C对应相等，那么就要分成AP和CQ对应成比例以及AP和BC对应成比例两种情况来求x的值；
（3）根据等高面积比等于底的比，即可得到结论．

解答解：（1）由题意得，PQ平行于BC，则AP：AB=AQ：AC，AP=4x，AQ=30-3x
∴$\frac{4x}{20}$=$\frac{30-3x}{30}$
∴x=$\frac{10}{3}$；

（2）假设两三角形可以相似，
情况1：当△APQ∽△CQB时，CQ：AP=BC：AQ，
即有$\frac{3x}{4x}$=$\frac{20}{30-3x}$解得x=$\frac{10}{9}$，
经检验，x=$\frac{10}{9}$是原分式方程的解．
此时AP=$\frac{40}{9}$cm，
情况2：当△APQ∽△CBQ时，CQ：AQ=BC：AP，
即有$\frac{3x}{30-3x}$=$\frac{20}{4x}$解得x=5，
经检验，x=5是原分式方程的解．
此时AP=20cm．
综上所述，AP=$\frac{40}{9}$cm或AP=20cm；
故答案为：$\frac{40}{9}$cm或20cm；

（3）当S_△BCQ：S_△ABC=1：3时，$\frac{CQ}{AC}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{AQ}{CQ}=\frac{2}{1}$，
∴CQ：AC=1：3，AC=30，∴CQ=10=3x，x=$\frac{10}{3}$，∴AP=4x=$\frac{40}{3}$，
∴AP：AB=$\frac{40}{3}$：20=2：3．

点评本题主要考查了相似三角形的判定和性质，根据三角形相似得出线段比或面积比是解题的关键．

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3．探究问题：
（1）方法感悟：
如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．
感悟解题方法，并完成下列填空：
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得：AB=AD，BG=DE，∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°，∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，因此，点G，B，F在同一条直线上．∵∠EAF=45°∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°．∵∠1=∠2，∴∠1+∠3=45°．即∠GAF=∠EAF．又AG=AE，AF=AF∴△GAF≌△EAF．∴GF=EF，故DE+BF=EF．
（2）方法迁移：
如图②，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=$\frac{1}{2}$∠DAB．试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．
（3）问题拓展：
如图③，在四边形ABCD中，AB=AD，E，F分别为DC，BC上的点，满足∠EAF=$\frac{1}{2}$∠DAB，试猜想当∠B与∠D满足什么关系时，可使得DE+BF=EF．请直接写出你的猜想（不必说明理由）．