Question

在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，过点D作DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙O切线； 
（2）若AE=1，BD=2

5

，求AB的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）连接OD，只要证明OD⊥DE即可；
（2）连接AD，根据AB是直径，得到∠ADB=90°，利用AB=AC得到∠BAD=∠CAD，从而得到△DAE∽△BAD，利用对应边的比相等得到AD²=AB，然后在Rt△ABD中，根据勾股定理得到AB²=AD²+BD²，从而得到AB²=AB+（2

5

）2，解方程即可．

解答：（1）证明：连接OD；
∵OD=OB，
∴∠B=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠C=∠ODB，
∴OD∥AC，
∴∠ODE=∠DEC；
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°，
∴∠ODE=90°，
即DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线．

（2）解：连接AD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴△DAE∽△BAD，
∴

AE

AD

=

AD

AB

∴AD²=AB•AE
∵AE=1，
∴AD²=AB，
在Rt△ABD中，
AB²=AD²+BD²，
∵BD=2

5

，
∴AB²=AB+（2

5

）²，
解得：AB=5或-4（舍去）
∴AB的长为5．

点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．