Question

如图，已知抛物线的顶点坐标为M（1，4），且经过点N（2，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式及点A、B、C的坐标；
（2）若直线y=kx+t经过C、M两点，且与x轴交于点D，试证明四边形CDAN是平行四边形；
（3）点P在抛物线的对称轴x=1上运动，请探索：在x轴上方是否存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据题意中，抛物线的顶点坐标与N的坐标，可得抛物线的解析式，进而可得点A、B、C的坐标；
（2）分别求出过DM的直线，与过点AN的直线方程，可得DM与AN平行，且易得DM与AN相等；故四边形CDAN是平行四边形；
（3）首先假设存在，根据题意，题易得：△MDE为等腰直角三角形，进而可求得P的坐标，故存在P．

解答：（1）解：由抛物线的顶点是M（1，4），
设解析式为y=a（x-1）²+4（a＜0）
又抛物线经过点N（2，3），
所以3=a（2-1）²+4，
解得a=-1
所以所求抛物线的解析式为y=-（x-1）²+4=-x²+2x+3
令y=0，得-x²+2x+3=0，
解得：x₁=-1，x₂=3，
得A（-1，0）B（3，0）；
令x=0，得y=3，
所以C（0，3）．

（2）证明：直线y=kx+t经过C、M两点，
所以

t=3 k+t=4

即k=1，t=3，
直线解析式为y=x+3．
令y=0，得x=-3，
故D（-3，0），即OD=3，又OC=3，
∴在直角三角形COD中，根据勾股定理得：CD=

OD2+OC2

=3

2

．
连接AN，过N做x轴的垂线，垂足为F．
设过A、N两点的直线的解析式为y=mx+n，
则

-m+n=0 2m+n=3

，
解得m=1，n=1
所以过A、N两点的直线的解析式为y=x+1
所以DC∥AN．在Rt△ANF中，AF=3，NF=3，
所以AN=3

2

，
所以DC=AN．
因此四边形CDAN是平行四边形．

（3）解：假设在x轴上方存在这样的P点，使以P为圆心的圆经过A、B两点，并且与直线CD相切，
设P（1，u）其中u＞0，
则PA是圆的半径且PA²=u²+2²过P做直线CD的垂线，垂足为Q，则PQ=PA时以P为圆心的圆与直线CD相切．
由第（2）小题易得：△MDE为等腰直角三角形，故△PQM也是等腰直角三角形，
由P（1，u）得PE=u，PM=|4-u|，PQ=

PM

2

=

|4-u|

2

由PQ²=PA²得方程：

(4-u)2

2

=u²+2²，
解得u=-4±2

6

，舍去负值u=-4-2

6

，符合题意的u=-4+2

6

，
所以，满足题意的点P存在，其坐标为（1，-4+2

6

）．

点评：本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力．