【题目】如图,点C在线段AB上,过点C作CD⊥AB,点E,F分别是AD,CD的中点,连结EF并延长EF至点G,使得FG=CB,连结CE,GB,过点B作BH∥CE交线段EG于点H.
(1)求证:四边形FCBG是矩形.
(2)己知AB=10,.
①当四边形ECBH是菱形时,求EG的长.
②连结CH,DH,记△DEH的面积为S1, △CBH的面积为S2.若EG=2FH,求S1+S2的值.
【答案】(1)证明见解析 (2)① ②16或
【解析】
(1)由EF是中位线,得EF平行AB,即FG平行CB,已知FG=CB,由一组对边平行且相等得四边形FCBG是平行四边形,又因为CD垂直AB,则四边形FCBG是矩形.
(2)①因为EF平行AC,根据平行列比例式,设EF为3x, 由中位线性质,直角三角形的中线的性质,四边形ECBH是菱形等条件,通过线段的长度转化,最终把AC和BC用含x的关系式表示,由AB=8,列方程,求出x, 把EG也用含x的代数式表示,代入x值,即可求出EG的长.
②由EF是△ACD的中位线,得DF=CF,根据同底等高三角形面积相等,得△DEH和△CEH的面积相等,因为四边形CEHB是平行四边形,所以△CEH的面积和△BCH的面积相等,得到关系式:S1+S2=2S2,由EF+FH=FH+HG,得EF=HG,结合已知EG=2FH,得FH=2FG,设EF等于a, 把有关线段用含a的代数式表示,分两种情况,即点H在FG上和点H在EF上,根据AB=10列关系式,求出a的值,再把S2用含a的代数式表示,代入a值即可.
(1)∵EF即是△ADC的中位线,
∴EF∥AC,即FG∥CB.
∵FG=CB,
∴四边形FCBG是平行四边形.
∵CD⊥AB,即∠FCB=90°,
∴四边形FCBG是矩形.
(2)解:①∵EF是△ADC的中位线,
∴EF=AC,DF=CD,
∴
∴可设EF=3x,则DF=CF=4x,AC=6x.
∵∠EFC=90°,
∴CE=5x.
∵四边形ECBH是菱形,
∴BC=EC=5x,
∴AB=AC+CB=6x+5x=10,
∴x=
∴EG=EF+FG=EF+BC=3x+5x=8x=;
②∵EH∥BC,BH∥CE,
∴四边形ECBH是平行四边形,
∴EH=BC,
又∵DF=CF,
∴S△DEH=S△CEH ,
∵四边形ECBH是平行四边形,
∴S△CEH=S△BCH
∴S1+S2=2S2 .
∵EH=BC=FG,
∴EF=HG.
当点H在线段FG上时,如图,
设EF=HG=a,∵EG=2FH,
∴EG=2FH=4a,AC=2EF=2a,
∴BC=FG=3a.
∴AB=AC+C=2a+3a=10,
∴a=2.
∵FC=AC=a,
∴S1+S2=2S2=2××3a×a=4a2=16.
当点H在线段EF上时,如图.
设EH=FG=a,则HF=2a.
同理可得AC=6a,BC=a,FC=4a,
∴AB=6a+a=10,
∴a=
∴S1+S2=2S2=2××a×4a=4a2= .
综上所述,S1+S2的值是16或.
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【题目】如图,△ABC中,AB=AC=1,∠BAC=45°,△AEF是由△ABC绕点A按顺时针方向旋转得到的.连接BE、CF相交于点D.
(1)求证:BE=CF.
(2)当四边形ACDE为菱形时,求BD的长.
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【题目】某校开展“校园献爱心”活动.准备向西部山区学校捐赠男、女两种款式的书包,已知男款书包单价元/个,女款书包单价元/个.
原计划募捐元,恰好可购买两种款式的书包个,问两种款式的书包各买多少个?
在捐款活动中,师生积极性高,实际捐款额和书包数量都高于原计划.快递公司将这些书包装箱运送,其中每箱书包数量相同.第一次他们领走这批的,结果装了箱还多个书包;第二次他们把余下的领走.连同第一次装箱剩下的个书包一起,刚好装了箱.问:实际购买书包共多少个?
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【题目】如图,点A,B分别在x轴、y轴上,点O关于AB的对称点C在第一象限,将△ABC沿x轴正方向平移k个单位得到△DEF(点B与E是对应点),点F落在双曲线y=上,连结BE交该双曲线于点G.∠BAO=60°,OA=2GE,则k的值为 ________ .
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【题目】如图,矩形ABCD的边BC在x轴上,点A(a,4)和D分别在反比函数y=-和y=(m>0)的图象上.
(1)当AB=BC时,求m的值。
(2)连结OA,OD.当OD平方∠AOC时,求△AOD的周长.
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【题目】如图,已知在四边形ABCD中,点E在AD上,∠BCE=∠ACD=90°,∠BAC=∠D,BC=CE.
(1)求证:AC=CD;
(2)若AC=AE,求∠DEC的度数.
【答案】(1)证明见解析;(2)112.5°.
【解析】试题分析: 根据同角的余角相等可得到结合条件,再加上 可证得结论;
根据 得到 根据等腰三角形的性质得到 由平角的定义得到
试题解析: 证明:
在△ABC和△DEC中, ,
(2)∵∠ACD=90°,AC=CD,
∴∠1=∠D=45°,
∵AE=AC,
∴∠3=∠5=67.5°,
∴∠DEC=180°-∠5=112.5°.
【题型】解答题
【结束】
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【题目】一个零件的形状如图所示,工人师傅按规定做得∠B=90°,
AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,假如这是一块钢板,你能帮工人师傅计算一下这块钢板的面积吗?
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【题目】一分钟投篮测试规定,得6分以上为合格,得9分以上为优秀,甲、乙两组同学的一次测试成绩如下:
成绩(分) | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
甲组(人) | 1 | 2 | 5 | 2 | 1 | 4 |
乙组(人) | 1 | 1 | 4 | 5 | 2 | 2 |
(1)请你根据上述统计数据,把下面的图和表补充完整;
一分钟投篮成绩统计分析表:
统计量 | 平均分 | 方差 | 中位数 | 合格率 | 优秀率 |
甲组 | 2.56 | 6 | 80.0% | 26.7% | |
乙组 | 6.8 | 1.76 | 86.7% | 13.3% |
(2)下面是小明和小聪的一段对话,请你根据(1)中的表,写出两条支持小聪的观点的理由.
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【题目】如图,在长方形OABC中,O为平面直角坐标系的原点,点A坐标为(a,0),点C的坐标为(0,b),且a、b满足+|b-6|=0,点B在第一象限内,点P从原点出发,以每秒2个单位长度的速度沿着O-C-B-A-O的线路移动.
(1)a=______________,b=_____________,点B的坐标为_______________;
(2)当点P移动4秒时,请指出点P的位置,并求出点P的坐标;
(3)在移动过程中,当点P到x轴的距离为5个单位长度时,求点P移动的时间.
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【题目】把下列各数分别填入相应的集合里:
﹣|﹣5|, 2.626 626 662…, 0, ﹣π, ﹣, 0.12, ﹣(﹣6).
(1)正有理数集合:{ ____________ …};
(2)负数集合:{ ____________ …};
(3)整数集合:{ ____________ …};
(4)分数集合:{ ____________ …}.
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