分析 先根据旋转的性质得出△DAB≌△D1AB1,再根据全等三角形的性质以及等腰三角形的性质,得出∠2=∠3,然后根据平行线的性质,得出∠2=∠4,若设∠1=∠2=∠3=∠4=α,则根据∠2+∠3+∠5=180°,可以求得α的度数为60°,最后根据△ADD1、△BCD都是等边三角形,求得DD1=AD=$\frac{5}{2}$.
解答 解:如图,将梯形ABCD绕点A旋转后得到梯形AB1C1D1,连接BD,
由旋转得:AD=AD1,AB=AB1,∠DAD1=∠BAB1,
∴∠DAB=∠D1AB1,且∠1=∠3,
在△DAB和△D1AB1中,
$\left\{\begin{array}{l}{AD=A{D}_{1}}\\{∠DAB=∠{D}_{1}A{B}_{1}}\\{AB=A{B}_{1}}\end{array}\right.$,
∴△DAB≌△D1AB1(SAS),
∴∠1=∠2,
∴∠2=∠3,
∵AD∥BC,
∴∠2=∠4,
设∠1=∠2=∠3=∠4=α,则∠5=180°-∠4-∠C=120°-α,
∵∠2+∠3+∠5=180°,
∴α+α+120°-α=180°,
解得α=60°,
∴∠1=∠2=∠3=∠4=60°,
∴△ADD1、△BCD都是等边三角形,
∴BD=CD=5,∠ABD=30°,
∴Rt△ABD中,AD=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{5}{2}$,
∴DD1=AD=$\frac{5}{2}$.
故答案为:$\frac{5}{2}$
点评 本题以旋转为背景,主要考查了全等三角形与等边三角形.解题时注意,旋转前后的对应边相等,对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角,这是解题的关键.在应用全等三角形的判定时,要注意三角形间的公共边和公共角,必要时需要添加适当辅助线构造三角形.
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A. | $\left\{\begin{array}{l}{\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=4}\\{x+y=1}\end{array}\right.$ | B. | $\left\{\begin{array}{l}{x+y=3}\\{2y+z=6}\end{array}\right.$ | ||
C. | $\left\{\begin{array}{l}{x+y=5}\\{2x-y=1}\end{array}\right.$ | D. | $\left\{\begin{array}{l}{x+y=6}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=18}\end{array}\right.$ |
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A. | x2+2=x2-1 | B. | $\frac{x-2}{4}$=x+1 | C. | xy+2x=2y-2 | D. | $\frac{3}{x}$=x-2 |
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A. | 100 cm2 | B. | 75 cm2 | C. | 50 cm2 | D. | 25 cm2 |
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