Question

17．把两块三角板（∠ABC=90°，∠A=45°，∠DBE=90°，∠E=30°）按如图1放置，两直角顶点B重合，直角边BC和BE在同一直线上，将△ABC绕点B按顺时针方向旋转α（0°＜α＜180°）．
（1）如图2，设AC与BE交于点G，当α=25°时，求∠CGE的度数；
（2）若DE=2BD，$\frac{2}{5}BE＜BC＜\frac{1}{2}BE$，则在△ABC旋转过程中，
①△ABC的边BC与DE是否会相交？请说明理由．
②当以B、C、D为顶点的三角形是等腰三角形时，请用含α的代数式表示出∠CDB的大小．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的外角等于不相邻两内角的和即可求解；
（2）①作BF⊥DE于点F，利用三角形面积公式求得BF的长度，然后比较BC和BF的大小即可判断；
②当△BCD是等腰三角形时，分成CB=CD和DB=DC两种情况进行讨论，利用等腰三角形的性质：等边对等角以及三角形内角和定理求解．

解答 解：（1）∠CGE=∠C+∠a=45°+25°=70°；
（2）①作BF⊥DE于点F．
∵∠E=30°，
∴BF=$\frac{1}{2}$BE．
∴BC＜$\frac{1}{2}$BE时，
∴BC＜BF，则BC与DE不相交；
②当△BCD是等腰三角形时，
当BC=CD时，∠CDB=∠DBC=90°-α或α-90°
当BD=CD时，∠DCB=∠CBD=90°-α，则∠CDB=180°-2（90°-α）=2α或360°-2α．

点评 本题考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质：等边对等角，注意对等腰三角形的边进行讨论是本题的关键．