Question

【题目】如图，△ABC中，∠BAC＝45°，∠ACB＝30°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△A1B1C1，当C，B1，C1三点共线时，旋转角为α，连接BB1，交于AC于点D，下面结论：

①△AC1C为等腰三角形；②CA＝CB1；③α＝135°；④△AB1D∽△ACB1；⑤＝中，正确的结论的序号为______．

Answer 1

【答案】①②④⑤

【解析】

首先根据旋转的性质得出AC1＝AC，从而结论①可判断；再通过三角形内角和定理及旋转角的计算对②③作出判断；通过∠AB1D＝∠ACB1=30°，∠B1AD＝∠CA B1，，判定△AB1D∽△ACB1；通过证明△ABD∽△B1CD，利用相似三角形的性质列式计算对⑤作出判断．

由旋转的性质可知：AC1＝AC，

∴△AC1C为等腰三角形，即①正确；

∵∠ACB＝30°，

∴∠C1＝∠ACB1＝30°，

又∵B1AC1＝∠BAC＝45°，

∴∠AB1C＝75°，

∴∠CAB1＝180°﹣75°﹣30°＝75°，

∴CA＝CB1；即②正确；

∵∠CAC1＝∠CAB1+∠B1AC1＝120°，

∴旋转角α＝120°，故③错误；

∵∠BAC＝45°，

∴∠BAB1＝45°+75°＝120°，

∵AB＝AB1，

∴∠AB1B＝∠ABD＝30°，

在△AB1D与△ACB1中，

∵∠AB1D＝∠ACB1=30°，∠B1AD＝∠CA B1，

∴△AB1D∽△ACB1，即④正确；

在△ABD与△B1CD中，

∵∠ABD＝∠ACB1，∠ADB＝∠CDB1，

∴△ABD∽△B1CD，

∴＝，

∴∠DB1C=∠DAB=45°，

过点D作DM⊥B1C，

设DM＝x，则B1M＝x，B1D＝x，DC＝2x， CM＝x，

∴AC＝B1C＝（+1）x，

∴AD＝AC﹣CD＝（﹣1）x，

∴＝＝＝，即⑤正确．

故答案为：①②④⑤．