Question

如图，点M、N是边长为4的正三角形ABC边AB、AC上的动点，且满足：将△AMN沿MN折叠使A点恰好落在BC边上D点处．

(1)△BDM与△CND相似吗？为什么？

(2)若BD∶CD＝2∶3，试求AM∶AN的值；

(3)若DN⊥BC，试求CN的值；

(4)当D从B移动到C，点N运动的总路线长为多少？

Answer 1

答案：
解析：

(1)△BDM与△CND相似………………………………1分 　　因为：由翻折可知：△AMN≌△DMN 　　有∠MDN＝∠A，而△ABC为正三角形， 　　所以∠A＝∠B＝∠C＝60°………………………………2分 　　即∠MDN＝∠A＝60° 　　而∠B＋∠BMD＝∠MDC＝∠MDN＋∠NDC＝60°＋∠NDC 　　所以∠BMD＝∠CDN………………………………3分 　　在△BDM和△CND中 　　∠B＝∠C＝60°，∠BMD＝∠NDC 　　所以△BDM∽△CND………………………………4分 　　(2)设AM＝x，AN＝y，由BC＝4，BD∶CD＝2∶3，得BD＝1.6，CD＝2.4；由翻折可知：DM＝AM＝x，DN＝AN＝y 　　因为△BDM∽△CND 　　所以………………………………5分 　　即………………………………6分 　　化简整理，得x∶y＝7∶8，即AM∶AN的值为7∶8……………………8分 　　(3)当DN⊥BC时，则△DCN为Rt△， 　　cosC＝＝，设CD＝a，那么CN＝2a，AN＝DN＝4－2a 　　tanC＝，则DN＝， 　　由AN＝DN，即4－2a＝ 　　所以a＝8－4………………………………10分 　　即CN的值为16－8………………………………11分 　　(说明：本小问也可以运用勾股定理列一元二次方程来求a的值) 　　(4)当D从B移动到C，点N从点C(图1)开始，运动到图2的N点，再往回运动到(图3)AC的中点． 　　由第(3)问可知：当D从B移动到C，点N运动的总路线长为16－8＋(16－8－2)＝30－16………………………………14分