Question

15．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别为BC，CD的中点，则下列结论：①AF⊥DE；②AF=DE；③AD=BP；④PE+PF=$\sqrt{2}$PC．其中结论正确的有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 先证明△ADF≌△DCE得到AF=DE，则可对②进行判断；由全等性质得∠DAF=∠CDE，则利用∠DAF+∠DFA=90°可得∠CDE+∠DFA=90°，则可对①进行判断；作BG∥DE交AF于M，交AD于G，如图1，证明BM垂直平分AP得到BP=BA=AD，则可对③进行判断；延长DE到N使EN=PF，连结CN，如图2，先证明△CFP≌△CEN得到CP=CN，∠1=∠2，再证明△PCN为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质对④进行判断．

解答 解：∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=CD=BC，∠ADC=∠BCD=90°，
而点E、F分别为BC，CD的中点，
∴DF=CE，
在△ADF和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=DC}\\{∠ADF=∠DCE}\\{DF=CE}\end{array}\right.$，
∴△ADF≌△DCE，
∴AF=DE，所以②正确，
∠DAF=∠CDE，
而∠DAF+∠DFA=90°，
∴∠CDE+∠DFA=90°，
∴∠DPF=90°，
∴AF⊥DE，所以①正确；
作BG∥DE交AF于M，交AD于G，如图1，则四边形BEDG为平行四边形，
∴BE=DG=$\frac{1}{2}$AD，
∴GM为△APD的中位线，
∴AM=MP，
∵AP⊥DE，
∴AP⊥BG，
∴BM垂直平分AP，
∴BP=BA=AD，所以③正确；
延长DE到N使EN=PF，连结CN，如图2，
∵∠CFP=90°+∠3，∠CEN=90°+∠3，
∴∠CFP=∠CEN，
在△CFP和△CEN中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=CE}\\{∠CFP=∠CEN}\\{FP=EN}\end{array}\right.$，
∴△CFP≌△CEN，
∴CP=CN，∠1=∠2，
∵∠1+∠PCE=90°，
∴∠2+∠PCE=90°，即∠PCN=90°，
∴△PCN为等腰直角三角形，
∴PN=$\sqrt{2}$PC，
∴PE+EN=PE+PF=$\sqrt{2}$PC，所以④正确．
故选D．

点评 本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形．也考查了全等三角形的判定与性质．