Question

14．如图，正六边形ABCDEF中，P、Q两点分别为△ACF、△CEF的内心．若AF=2，则PQ的长度为何？（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 2$\sqrt{3}$-2
• D． 4-2$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 先判断出PQ⊥CF，再求出AC=2$\sqrt{3}$，AF=2，CF=2AF=4，利用△ACF的面积的两种算法即可求出PG，然后计算出PQ即可．

解答 解：如图，

连接PF，QF，PC，QC，
∵P、Q两点分别为△ACF、△CEF的内心，
∴PF是∠AFC的角平分线，FQ是∠CFE的角平分线，
∴∠PFC=$\frac{1}{2}$∠AFC=30°，∠QFC=$\frac{1}{2}$∠CFE=30°，
∴∠PFC=∠QFC=30°，
同理，∠PCF=∠QCF
∴PQ⊥CF，
∴△PQF是等边三角形，
∴PQ=2PG；
易得△ACF≌△ECF，且内角是30°，60°，90°的三角形，
∴AC=2$\sqrt{3}$，AF=2，CF=2AF=4，
∴S_△ACF=$\frac{1}{2}$AF×AC=$\frac{1}{2}$×2×2$\sqrt{3}$=2$\sqrt{3}$，
过点P作PM⊥AF，PN⊥AC，PQ交CF于G，
∵点P是△ACF的内心，
∴PM=PN=PG，
∴S_△ACF=S_△PAF+S_△PAC+S_△PCF
=$\frac{1}{2}$AF×PM+$\frac{1}{2}$AC×PN+$\frac{1}{2}$CF×PG
=$\frac{1}{2}$×2×PG+$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{3}$×PG+$\frac{1}{2}$×4×PG
=（1+$\sqrt{3}$+2）PG
=（3+$\sqrt{3}$）PG
=2$\sqrt{3}$，
∴PG=$\frac{2\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}$=$\sqrt{3}$-1
∴PQ=2PG
=2（$\sqrt{3}$-1）
=2$\sqrt{3}$-2．
故选C．

点评 此题是三角形的内切圆与内心，主要考查了三角形的内心的特点，三角形的全等，解本题的关键是知道三角形的内心的意义．