Question

16．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的边AD在x轴上，点B在y轴上，AD∥BC，AD=BC，AC，BD交于点E，且相互平分，若OA=OB，点C的坐标为（-$\sqrt{3}-1$，$\sqrt{3}$）．求：
（1）点E的坐标；
（2）S_{四边形ABEO}．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质和已知条件得出AD=BC=$\sqrt{3}$+1，OB=$\sqrt{3}$，得出OA=OB=$\sqrt{3}$，OD=1，得出点A的坐标，即可求出点E的坐标；
（2）先求出△ABD和△ODE的面积，S_{四边形ABEO}=△ABD的面积-△ODE的面积，即可得出结果．

解答 解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AE=CE，
∵点C的坐标为（-$\sqrt{3}-1$，$\sqrt{3}$），
∴AD=BC=$\sqrt{3}$+1，OB=$\sqrt{3}$，
∴OA=OB=$\sqrt{3}$，OD=1，
∴点A的坐标为（$\sqrt{3}$，0），
∴点E的坐标为（$\frac{-\sqrt{3}-1+\sqrt{3}}{2}$，$\frac{\sqrt{3}，0}{2}$），
即E（$-\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）；
（2）∵△ABD的面积=$\frac{1}{2}$AD•OB=$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{3}$+1）×$\sqrt{3}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，
△ODE的面积=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
∴S_{四边形ABEO}=△ABD的面积-△ODE的面积=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$=$\frac{6+\sqrt{3}}{4}$．

点评 本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形特征、三角形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．